几种常用的二次曲面与空间曲线资料

1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z2 c2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
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二、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
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M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
0
y
特点:母线C为椭圆,轴为椭圆的
x
对称轴. 例如:yoz面上的椭圆:
y2 a2
z2 b2
1
绕z轴旋转得旋转曲面方程:
x2 y2 a2
z2 b2
1
绕y轴旋转得旋转曲面方程:
y2 a2
x2 z2 b2
1
注:旋转曲面的重要特征是其两个变量的平方项系数相等. 18
例4. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
一般在xoy面上的曲线，在空间直角坐标系中应该
表示为： F (x, y) 0 z 0
而 F(x, y) 0 在空间坐标系中表示柱面。
例如：抛物柱面 z 1 x2
z
(0,0,1)
在xoz平面上的准线L3
L3
L3 :
z 1 x2
y
0
x
y
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三、几种常用的空间曲线
三元二次方程
Ax2 By2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0
16
同理：当曲线 C : f ( y, z) 0
绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程: f ( y , x2 z 2 ) 0
例1. 旋转抛物面
特点:母线C为抛物线,轴L为抛物线的对称轴。 z
例如:将yoz平面上的抛物线C: z2 2 py
绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为:
S : x2 z2 2 py
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
z
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有 f ( y1, z1) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M (x, y, z)
C
M1(0, y1, z1)
M (x, y, z) , 则有
o
y
z z1, x2 y2 y1
x
故旋转曲面方程为
f ( x2 y2 , z) 0
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为
圆柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x2 y2 R2 表示圆柱面
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定义2. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
•
表示抛物柱面,
z
母线平行于 z 轴;
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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1、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
z
的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)
y
两边平方
x
z2 a2( x2 y2 )
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例5. 求坐标面 xoz 上的双曲线
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
x2 2y2 2y 0 为投影柱面， C 在xoy 面上的投影曲线方程为
z
C
o
1y
x
x2 2y2 2y 0
z0
o y
例如:将yoz平面上的抛物线C: y2 2 pz
x
绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:
z
S : x2 y2 2 pz
z a(x2 y2)
问:此曲线若绕x轴旋转所得的是何图形?
0
y
17
例2: S : z 1 x2 y2
z
(0,0,1)
其图形顶点在z轴上(0,0,1)处,
开口向下的旋转抛物面. 例3. 旋转椭球面
R(
y, z) x0
0
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
T
(x, y
z) 0
0
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例2
x2 y2 z2 1
(1)
C : x2 ( y 1)2 (z 1)2 1 (2)
求曲线C在xoy 面上的投影曲线方程。
（1）－（2） 2 y 2z 2
z 1 y (3)
（3）代入（1）整理得
几种常用的二次曲面与空间曲线
一、旋转曲面 二、柱面 三、几种常用的空间曲线
1
一、旋转曲面
定义1. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
2
下面我们重点讨论母线在坐标面,轴是坐标轴的
旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
准线为xoy 面上的抛物线.
•
x2 a2
y2 b2
1表示母线平行于
z 轴的椭圆柱面.
x
z
C
o
y
z
• x y 0 表示母线平行于
o
z 轴的平面.
(且 z 轴在平面上) x
y x
o y
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一般地,在三维空间曲面图形的方程中缺少一个变量,
此方程表示柱面方程.其图形平行于所缺变量对应的数轴.
方程 F(x, y) 0 表示柱面, z
求其在 xoy 平面上的投影.
消去 z 得投影柱面
满足（1）的数 x, y, z 中的 x, y 必满足（2）式。
这说明曲线C上所有点都在（2）
z
式所表示的曲面上。
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
H
(
x, y) z0
0
C
y
x
C
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2、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
y x l1
x z l3
z l2 y
母线 平行于 y 轴;
x
准线 xoz 面上的曲线 l3.
y
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注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆, 在不同的坐标系中应该注意。
称它为空间曲线的 参数方程.
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
令 t , b v
M o
x y
上升高度 h 2 b, 称为螺距 .
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例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
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2、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为