抛物线ppt

定点F叫做抛物线的焦点 定点 叫做抛物线的焦点 叫做抛物线的 定直线 l 叫做抛物线的准线 叫做抛物线的准线
l H
M
· ·F
定义告诉我们： 定义告诉我们： 告诉我们 1、判断抛物线的一种方法
2、抛物线上任一点的性质：|MF|=|MH| 抛物线上任一点的性质：
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二、抛物线的标准方程
求曲线方 程的基本 步骤是怎 样的？ 样的？
y
M(x,y)
· ·F
p ,0 2 x
p 2 p 2 (x − ) + y = x + 2 2
化简得
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y2 = 2px（p＞0） （ ＞ ）
） 方程的推导 （设|KF| = p）
y y y
H Ko F
M
x
H K oF
M
H
x Ko F
M
x
L
y
2=
(1) P 2p(x－ 2 )
的标准方程。 的标准方程。
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解题感悟:
求抛物线标准方程的步骤： 求抛物线标准方程的步骤：
（1）确定抛物线的形式. ） （2）求p值 ） （3）写抛物线方程 ）
焦点或开口方向不定， 注意:焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论
结束
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巩固提高： 巩固提高：
求过点A（ ， ）的抛物线的标准方程。 求过点 （-3，2）的抛物线的标准方程。
M
H K
N l
·
·F
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建轴
y H K O yM
y
NO l
·
·OF
K x F N
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1.标准方程的推导 1.标准方程的推导: 标准方程的推导:
l 设︱KF︱= p ︱ p p 则F（ 2 ，0）， ：x = （ ），l： ）， H 2 p 设动点M的坐标为 的坐标为（ ， ）， 设动点 的坐标为（x，y）， x = − 2 K o 可知， 由|MF|=|MH|可知， 可知
因为焦点在y的负半轴上 的负半轴上,所以设所 解: 因为焦点在 的负半轴上 所以设所 求的标准方程为x2= -2py 求的标准方程为
P 由题意得 = 2 ，即p=4 2
∴所求的标准方程为x2= -8y 所求的标准方程为
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变式
1 已知抛物线的准线方程是x － 求它 已知抛物线的准线方程是 =－ 4 ,求它
9 4
O
x
4 9 ∴抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = − x 3 2
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得p=
2 3
。
小结
1、理解抛物线的定义,四种标准方程类型. 理解抛物线的定义,四种标准方程类型. 2、会求不同类型抛物线的焦点坐标、准 、会求不同类型抛物线的焦点坐标、 线方程 3、会求抛物线标准方程 、 抛物线标准方程
1、建系、设点 、建系、 2、动M（x，y）点所满足的条件 、 （ ， ） 3、写出 所满足的关系式 、写出x,y所满足的关系式 4、化 简 、
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准备工作:参数p 准备工作:参数p的引入 实验二
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想一想 设 |KF| = p ,它表示焦点到 KF的什 交点N位于KF 交点N位于KF的什 准线的距离故p>0 准线的距离故p>0 么位置？ 么位置？
已知抛物线的标准方程是y 例1 已知抛物线的标准方程是 2 = 6x， ， 求它的焦点坐标和准线方程； 求它的焦点坐标和准线方程；
解: ∵2P=6,∴P=3 ∴
1 是一次项系数的 3 4 所以抛物线的焦点坐标是（ 所以抛物线的焦点坐标是（ 2 ，0） ） 3 是一次项系数的 1 准线方程是x= − 4 2 的相反数
X0 +
————————————
— 2
p
y
（ ， M X0， y0)
O F
．
x
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X= - p/2
解法一：以 L为 y 轴，过点 F 垂直于 L的直线为 x 轴建 立直角坐标系（如下图所示）,则定点 F ( p, o) 设动点 点 M ( x, y ) ，由抛物线定义得：
( x − p) 2 + y 2 = x
L
y
2=
(2) P 2p(x+ 2 )
L
(3)
y 2= 2px
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2.抛物线的标准方程 2.抛物线的标准方程
把方程 y2 = 2px（p＞0） （ ＞ ） 叫做抛物线的标准方程 叫做抛物线的标准方程
K
l
O
y
.F
x
p p ），准线方程 其中 焦点 F（ 2 ，0），准线方程 ：x = （ ），准线方程l： 2
x = −2 py ( p > 0)
p 0,− 2
寻找：区别与联系 寻找：
一、四种形式标准方程的共同特征
y 2 = 2 px y 2 = −2 px
(p > 0)
( p > 0)
x2 = −2 py x = 2 py ( p > 0) (p > 0)
2
1、二次项系数都化成了_______ 二次项系数都化成了_______ 系数都化成了 1 2、四种形式的方程一次项的系数都含2p 四种形式的方程一次项的系数都含2
y = 2 px
2
准线方程
(p > 0)
2
p ,0 2
p x=− 2
y = −2 px p − ,0 ( p > 0) 2
x 2 = 2 py 0 , p
p x= 2 p y=− 2 p y= 2
(p > 0)
2

Байду номын сангаас
2
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而p 的几何意义是 焦点到准线的距离 的几何意义是:
一条抛物线， 一条抛物线，由于它在坐标平面内的 焦点位置不同，方程也不同， 焦点位置不同，方程也不同，所以抛 物线的标准方程还有其它形式. 物线的标准方程还有其它形式.
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3.四种抛物线的标准方程对比 3.四种抛物线的标准方程对比
图形 标准方程 焦点坐标
y
M(x,y)
F
化简得：y = 2 px −
2
p
2
( p > 0)
O
L
x
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解法二：以定点 F 为原点，过点 F 垂直于 L的直线为x轴建 立直角坐标系（如下图所示），则定点 F (0, 0) ， 的方程 L 为x = − p y 设动点 M ( x, y )，由抛物线定义得 M(x,y)
抛物线及其标准方程
欢迎指导
抛物线的生活实例
投篮运动
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赵州桥
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喷泉
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复习提问： 复习提问：
若动点M 若动点M满足到一个定点F的距离和它到一条定直线l 的距离的比是常数e.（直线 l 不经过点F） 的轨迹是什么? （1）当0＜e ＜1时，点M的轨迹是什么 是椭圆 ） 的轨迹是什么 2） M的轨迹是什么 的轨迹是什么? （2）当e＞1时，点M的轨迹是什么?
A
o
.F
B
x
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练习2 练习2
根据下列条件写出各自的抛物线的标准方程 （1）焦点是 F（3，0） ） （ ， ）
y 2 = 12x
（2）焦点到准线的距离为 ）焦点到准线的距离为2 2 = 4x , y 2 =－ 4x , x 2 = 4y , x 2 = －4y － y
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解:（1）当抛物线的焦点在 轴 （ ）当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时， 的正半轴上时，把A（-3，2） （ ， ） 代入x 代入 2 =2py，得p= ，
．
A
y
轴的负半轴上时， （2）当焦点在 轴的负半轴上时， ）当焦点在x轴的负半轴上时 把A（-3，2）代入 2 = -2px， （ ， ）代入y ，
F(O)
x + y = x+ p
2 2
x
化简得：
y
2
= 2 px +
p
2
( p > 0)
L
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M
y
p ，0) F(－ 2
F o
L
χ＝
p 2
x
y2＝－ ＝－2pχ (p＞0) ＞
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O 点 3、四种抛物线都过____点 ，且焦点与准 13:47:17 线分别位于此点的两侧
寻找：区别与联系 寻找：
二、四种形式标准方程的区别
y = 2 px
2
(p > 0)
y = −2 px x 2 = 2 py x2 = −2 py ( p > 0) ( p > 0) (p > 0)
2
1、一次项(X或Y)定焦点 一次项(X或Y)定焦点 (X 2、一次项系数符号定开口方向. 一次项系数符号定开口方向. 符号定开口方向 正号朝正向，负号朝负向。 13:47:17 正号朝正向，负号朝负向。
l l M M F
是双曲线
l M
·
F
·
H
.
e=1？ ？
0＜ 13:47:17 ＜e ＜1
e＞1 ＞
实验一
F
一、抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线 （ 不 平面内与一个定点 和一条定直线l（l不 和一条定直线 经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 经过点 ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
其中
挑战教材: 挑战教材:
想一想?定义中当直线 经过定点 想一想 定义中当直线l经过定点 ，则点 定义中当直线 经过定点F，则点M 的轨迹是什么？ 的轨迹是什么？
l
经过点F且垂直于 经过点 且垂直于l 的直线 且垂直于
F
·
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例4
M是抛物线 2 = 2px（P＞0）上一点，若点 是抛物线y 是抛物线 （ ＞ ）上一点， M 的横坐标为 0，则点 到焦点的距离是 的横坐标为X 则点M到焦点的距离是
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作业
A组 ：1,2（必做） 组 （必做） 补充：求经过点p（ ， ） 补充：求经过点 （4，-2）的抛物线 的标准方程。 的标准方程。
P73
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P66思考： P66思考： 思考
二次函数 是抛物线？
2
y = ax2 (a ≠ 0) 的图像为什么
2
1 1 y = ax (a ≠ 0) ⇒ x = y ∴ = ±2p a a
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练习1 练习
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 （1）y 2 = -20 x ）
焦点F 焦点 ( -5 , 0 ) 准线：x =5 准线：
（2） y = 6 x ）
2
1 1 焦点F 焦点 ( 0 , 24 ) 准线：y = － 24 准线：
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已知抛物线的焦点坐标是F（ 例2 已知抛物线的焦点坐标是 （0，-2） 求它的标准方程。 求它的标准方程。
时与当a<0时，结论都为： 当a>0时与当 时与当 时 结论都为：
1 1 焦点（ ， )准线y=0 4a 4a
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y y=ax2
y=ax2+c y=ax2+bx+c
o
x
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例3：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波 ：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。 束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线， 束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线， 经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径） 经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径） 为4.8m，深度为 ，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线 。建立适当的坐标系， 的标准方程和焦点坐标。 的标准方程和焦点坐标。 y