2019-2020年高考数学一轮复习第九章解析几何第七节抛物线课件理
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第九章 解析几何
第七节 抛 物 线
考纲要求： 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、 对称性、顶点、离心率等)． 2．了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解 抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 3．理解数形结合思想．
1．抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等 的 点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的 焦点 ，直线 l 叫做抛 物线的 准线 ．
D．y2＝2x 或 y2＝16x
[听前试做] (1)抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线为 x＝－p2且过 点(－1,1)，故－p2＝－1，解得 p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
(2)由已知得抛物线的焦点 Fp2，0，设点 A(0,2)，点 M(x0，
y0)，则 ＝p2，－2， ＝2yp20 ，y0－2.由已知得，
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直线 AB 的斜率 kAB＝xy11－－12＝xx4121－ －12＝x1＋4 2， 故直线 AB 的方程为 y－1＝x1＋4 2(x－2)． 令 y＝－1，得 x＝2－x1＋8 2(由题意知 x1＋2≠0)， ∴点 S 的坐标为2－x1＋8 2，－1. 同理可得点 T 的坐标为2－x2＋8 2，－1
(2)由(1)得 4x2－5px＋p2＝0，即 x2－5x＋4＝0，则 x1＝1， x2＝4，于是 y1＝－2 2，y2＝4 2，从而 A(1，－2 2)，B(4,4 2)．设 C(x3，y3)，则 ＝(x3，y3)＝(1，－2 2)＋λ(4,4 2)＝(4λ＋1,4 2λ －2 2)．
又 y23＝8x3，所以[2 2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2 ＝4λ＋1，解得 λ＝0 或 λ＝2.
y＝kx－t，
由y＝14x2
消去 y，整理得 x2－4kx＋4kt＝0，
由于直线 PA 与抛物线相切，得 k＝t. 因此，点 A 的坐标为(2t，t2)．
设圆 C2 的圆心为 D(0,1)，点 B 的坐标为(x0，y0)．由题意知： 点 B，O 关于直线 PD 对称，
故y20＝－x20t＋1， x0t－y0＝0，
解：(1)∵点 A(2,1)在抛物线 E：x2＝ay 上，∴a＝4. (2)由(1)得抛物线 E 的方程为 x2＝4y. 设点 B，C 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 依题意得 x21＝4y1，x22＝4y2， 由xy＝2＝k4xy＋1， 消去 y，得 x2－4kx－4＝0， 解得 x1,2＝4k±4 2k2＋1＝2k±2 k2＋1. ∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
已知点 A(2,1)在抛物线 E：x2＝ay 上，直线 l1：y＝kx＋1(k∈ R，且 k≠0)与抛物线 E 相交于 B，C 两点，直线 AB，AC 分别交 直线 l2：y＝－1 于点 S，T.
(1)求 a 的值；
(2)若|ST|＝2 5，求直线 l1 的方程．
，
求 λ 的值．
[听前试做] (1)由题意得直线 AB 的方程为 y＝2 2·x－p2， 与 y2＝2px 联立，消去 y 有 4x2－5px＋p2＝0，所以 x1＋x2＝54p.
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝54p＋p＝9，所以 p＝4，从 而该抛物线的方程为 y2＝8x.
证明：设直线 AB 的方程为 x＝my＋p2，代入 y2＝2px，得 y2 －2pmy－p2＝0.
由根与系数的关系，得 yAyB＝－p2，即 yB＝－ypA2. ∵BC∥x 轴，且 C 在准线 x＝－p2上，∴C－p2，yB. 则 kOC＝－yBp2＝2ypA＝xyAA＝kOA. ∴直线 AC 经过原点 O.
p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
焦点 F
离心率
p2，0
准线方 程
x＝－p2
F －p2，0
F 0，p2
e＝ 1
x＝p2
y＝－p2
F 0，－p2
y＝p2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
标准方程
开口方向 焦半径(其中
解得xy00＝＝112＋＋2tt2tt22，，
因此，点 B 的坐标为1＋2tt2，1＋2t2t2.
(2)由(1)知|AP|＝t· 1＋t2，直线 PA 的方程为 tx－y－t2＝0.
点 B 到直线 PA 的距离是 d＝
t2 1＋t2 .
设△PAB 的面积为 S(t)，则 S(t)＝12|AP|·d＝t23.
P(x0，y0))
y2＝2px(p y2＝－2px(p x2＝
x2＝－
＞0)
＞0)
2py(p>0) 2py(p>0)
p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
向右
向左
向上
向下
|PF|＝
x0＋p2
|PF|＝
－x0＋p2
|PF|＝
y0＋p2
|PF|＝
－y0＋p2
[自我查验] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨 迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线 y2＝4x 的焦点到准线的距离是 4.( ) (3) 若 一 抛 物 线 过 点 P( － 2,3) ， 其 标 准 方 程 可 写 为 y2 ＝ 2px(p>0)．( )
答案：y2＝16x
3．若抛物线 y＝ax2 的准线方程是 y＝2，则 a 的值是________． 解析：抛物线 y＝ax2 可化为 x2＝1ay， ∴－41a＝2，∴a＝－18. 答案：－18
4 ． 抛 物 线 y2 ＝ 8x 的 焦 点 到 直 线 x － 3 y ＝ 0 的 距 离 是 ________．
(3)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形 可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征， 体现了数形结合思想解题的直观性．
若抛物线 y2＝m4 x 的准线经过椭圆x72＋y32＝1 的左焦点，则实
数 m 的值为________．
解析：抛物线 y2＝m4 x 的准线方程为 x＝－m1 ，椭圆x72＋y32＝1
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置 关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物 线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p， 若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利 用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．
∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝ 42＋22＝ 16＋4＝2 5.即|PB|＋|PF| 的最小值为 2 5.
[探究 2] 若将本例中的“B(3,2)”改为：已知抛物线方程为 y2 ＝4x，直线 l 的方程为 x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1，到直线 l 的距离为 d2，求 d1＋d2 的最小值．
[典题 4] (2015·浙江高考)如图，已知抛物线 C1：y＝14x2， 圆 C2：x2＋(y－1)2＝1，过点 P(t,0)(t＞0)作不过原点 O 的直线 PA，PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切，A，B 为切点．
(1)求点 A，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．
[听前试做] (1)由题意知直线 PA 的斜率存在，故可设直线 PA 的方程为 y＝k(x－t)．
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截 得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x2＝－2ay(a>0)的通径 长为 2a.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2．点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l：x＋6＝0 的距离小 2， 则 M 点的轨迹方程为_____________________．
3．抛物线的几何性质
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
标准方程 (p＞0) (p＞0) (p>0)
(p>0)
p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
图形
顶点
对称轴
y=0
O (0,0)
x=0
标准方 程
y2＝2px(p＞ y2＝－2px(p＞ x2＝
x2＝－
0)
0)
2py(p>0) 2py(p>0)
＝0，
即 y20－8y0＋16＝0，因而 y0＝4，M8p，4.
由|MF|＝5，得
8p－p22＋16＝5.又 p＞0，解得 p＝2 或 p
＝8.
答案：(1)B (2)C
(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有 p，所以只需一个条件确定 p 值即可．
(2)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关 键是将抛物线方程化成标准方程．
解：由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0)． 点 P 到 y 轴的距离 d1＝|PF|－1，所以 d1＋d2＝d2＋|PF|－1. 易知 d2＋|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离，故 d2＋|PF| 的最小值为 12|1＋＋－5| 12＝3 2，所以 d1＋d2 的最小值为 3 2－1.
解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题 时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表 示出焦点弦长，再利用已知条件求解．
设抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线 于 A、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BC∥x 轴．证明：直 线 AC 经过原点 O.
的左焦点坐标为(－2,0)，由题意知－m1 ＝－2，所以实数 m＝12. 答案：12
[典题 3] 已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2
的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝
9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为 4.
答案： 4
[探究 1] 若将本例中的 B 点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF| 的最小值．
解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF| 的最 小值即为 B，F 两点间的距离，
A．(－1,0)
B．(1,0)
C．(0，－1)
D．(0,1)
(2)设抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，
|MF|＝5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为( )
A．y2＝4x 或 y2＝8x
B．y2＝2x 或 y2＝8x
C．y2＝4x 或 y2＝16x
答案：1 5．斜率为 1 的直线经过抛物线 y2＝4x 的焦点 F，且与抛物线 相交于 A，B 两点，则线段 AB 的长为________． 答案：8
[典题 1] 设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，若 B(3，2)，则|PB| ＋|PF|的最小值为________．
[听前试做]
如图，过点 B 作 BQ 垂直准线于 Q，交抛物线于点 P1，则|P1Q| ＝|P1F|.
2．抛物线的标准方程 (1)顶点在坐标原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程 为： y2＝2px(p>0) ； (2)顶点在坐标原点，焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程 为： y2＝－2px(p>0) ； (3)顶点在坐标原点，焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程 为： x2＝2py(p>0) ； (4)顶点在坐标原点，焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程 为： x2＝－2py(p>0) ．
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有 关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题 也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是 解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
[典题 2] (1)(2015·陕西高考)已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的
准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )
第七节 抛 物 线
考纲要求： 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、 对称性、顶点、离心率等)． 2．了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解 抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 3．理解数形结合思想．
1．抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等 的 点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的 焦点 ，直线 l 叫做抛 物线的 准线 ．
D．y2＝2x 或 y2＝16x
[听前试做] (1)抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线为 x＝－p2且过 点(－1,1)，故－p2＝－1，解得 p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
(2)由已知得抛物线的焦点 Fp2，0，设点 A(0,2)，点 M(x0，
y0)，则 ＝p2，－2， ＝2yp20 ，y0－2.由已知得，
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直线 AB 的斜率 kAB＝xy11－－12＝xx4121－ －12＝x1＋4 2， 故直线 AB 的方程为 y－1＝x1＋4 2(x－2)． 令 y＝－1，得 x＝2－x1＋8 2(由题意知 x1＋2≠0)， ∴点 S 的坐标为2－x1＋8 2，－1. 同理可得点 T 的坐标为2－x2＋8 2，－1
(2)由(1)得 4x2－5px＋p2＝0，即 x2－5x＋4＝0，则 x1＝1， x2＝4，于是 y1＝－2 2，y2＝4 2，从而 A(1，－2 2)，B(4,4 2)．设 C(x3，y3)，则 ＝(x3，y3)＝(1，－2 2)＋λ(4,4 2)＝(4λ＋1,4 2λ －2 2)．
又 y23＝8x3，所以[2 2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2 ＝4λ＋1，解得 λ＝0 或 λ＝2.
y＝kx－t，
由y＝14x2
消去 y，整理得 x2－4kx＋4kt＝0，
由于直线 PA 与抛物线相切，得 k＝t. 因此，点 A 的坐标为(2t，t2)．
设圆 C2 的圆心为 D(0,1)，点 B 的坐标为(x0，y0)．由题意知： 点 B，O 关于直线 PD 对称，
故y20＝－x20t＋1， x0t－y0＝0，
解：(1)∵点 A(2,1)在抛物线 E：x2＝ay 上，∴a＝4. (2)由(1)得抛物线 E 的方程为 x2＝4y. 设点 B，C 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 依题意得 x21＝4y1，x22＝4y2， 由xy＝2＝k4xy＋1， 消去 y，得 x2－4kx－4＝0， 解得 x1,2＝4k±4 2k2＋1＝2k±2 k2＋1. ∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
已知点 A(2,1)在抛物线 E：x2＝ay 上，直线 l1：y＝kx＋1(k∈ R，且 k≠0)与抛物线 E 相交于 B，C 两点，直线 AB，AC 分别交 直线 l2：y＝－1 于点 S，T.
(1)求 a 的值；
(2)若|ST|＝2 5，求直线 l1 的方程．
，
求 λ 的值．
[听前试做] (1)由题意得直线 AB 的方程为 y＝2 2·x－p2， 与 y2＝2px 联立，消去 y 有 4x2－5px＋p2＝0，所以 x1＋x2＝54p.
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝54p＋p＝9，所以 p＝4，从 而该抛物线的方程为 y2＝8x.
证明：设直线 AB 的方程为 x＝my＋p2，代入 y2＝2px，得 y2 －2pmy－p2＝0.
由根与系数的关系，得 yAyB＝－p2，即 yB＝－ypA2. ∵BC∥x 轴，且 C 在准线 x＝－p2上，∴C－p2，yB. 则 kOC＝－yBp2＝2ypA＝xyAA＝kOA. ∴直线 AC 经过原点 O.
p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
焦点 F
离心率
p2，0
准线方 程
x＝－p2
F －p2，0
F 0，p2
e＝ 1
x＝p2
y＝－p2
F 0，－p2
y＝p2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
标准方程
开口方向 焦半径(其中
解得xy00＝＝112＋＋2tt2tt22，，
因此，点 B 的坐标为1＋2tt2，1＋2t2t2.
(2)由(1)知|AP|＝t· 1＋t2，直线 PA 的方程为 tx－y－t2＝0.
点 B 到直线 PA 的距离是 d＝
t2 1＋t2 .
设△PAB 的面积为 S(t)，则 S(t)＝12|AP|·d＝t23.
P(x0，y0))
y2＝2px(p y2＝－2px(p x2＝
x2＝－
＞0)
＞0)
2py(p>0) 2py(p>0)
p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
向右
向左
向上
向下
|PF|＝
x0＋p2
|PF|＝
－x0＋p2
|PF|＝
y0＋p2
|PF|＝
－y0＋p2
[自我查验] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨 迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线 y2＝4x 的焦点到准线的距离是 4.( ) (3) 若 一 抛 物 线 过 点 P( － 2,3) ， 其 标 准 方 程 可 写 为 y2 ＝ 2px(p>0)．( )
答案：y2＝16x
3．若抛物线 y＝ax2 的准线方程是 y＝2，则 a 的值是________． 解析：抛物线 y＝ax2 可化为 x2＝1ay， ∴－41a＝2，∴a＝－18. 答案：－18
4 ． 抛 物 线 y2 ＝ 8x 的 焦 点 到 直 线 x － 3 y ＝ 0 的 距 离 是 ________．
(3)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形 可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征， 体现了数形结合思想解题的直观性．
若抛物线 y2＝m4 x 的准线经过椭圆x72＋y32＝1 的左焦点，则实
数 m 的值为________．
解析：抛物线 y2＝m4 x 的准线方程为 x＝－m1 ，椭圆x72＋y32＝1
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置 关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物 线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p， 若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利 用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．
∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝ 42＋22＝ 16＋4＝2 5.即|PB|＋|PF| 的最小值为 2 5.
[探究 2] 若将本例中的“B(3,2)”改为：已知抛物线方程为 y2 ＝4x，直线 l 的方程为 x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1，到直线 l 的距离为 d2，求 d1＋d2 的最小值．
[典题 4] (2015·浙江高考)如图，已知抛物线 C1：y＝14x2， 圆 C2：x2＋(y－1)2＝1，过点 P(t,0)(t＞0)作不过原点 O 的直线 PA，PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切，A，B 为切点．
(1)求点 A，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．
[听前试做] (1)由题意知直线 PA 的斜率存在，故可设直线 PA 的方程为 y＝k(x－t)．
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截 得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x2＝－2ay(a>0)的通径 长为 2a.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2．点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l：x＋6＝0 的距离小 2， 则 M 点的轨迹方程为_____________________．
3．抛物线的几何性质
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
标准方程 (p＞0) (p＞0) (p>0)
(p>0)
p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
图形
顶点
对称轴
y=0
O (0,0)
x=0
标准方 程
y2＝2px(p＞ y2＝－2px(p＞ x2＝
x2＝－
0)
0)
2py(p>0) 2py(p>0)
＝0，
即 y20－8y0＋16＝0，因而 y0＝4，M8p，4.
由|MF|＝5，得
8p－p22＋16＝5.又 p＞0，解得 p＝2 或 p
＝8.
答案：(1)B (2)C
(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有 p，所以只需一个条件确定 p 值即可．
(2)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关 键是将抛物线方程化成标准方程．
解：由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0)． 点 P 到 y 轴的距离 d1＝|PF|－1，所以 d1＋d2＝d2＋|PF|－1. 易知 d2＋|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离，故 d2＋|PF| 的最小值为 12|1＋＋－5| 12＝3 2，所以 d1＋d2 的最小值为 3 2－1.
解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题 时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表 示出焦点弦长，再利用已知条件求解．
设抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线 于 A、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BC∥x 轴．证明：直 线 AC 经过原点 O.
的左焦点坐标为(－2,0)，由题意知－m1 ＝－2，所以实数 m＝12. 答案：12
[典题 3] 已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2
的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝
9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为 4.
答案： 4
[探究 1] 若将本例中的 B 点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF| 的最小值．
解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF| 的最 小值即为 B，F 两点间的距离，
A．(－1,0)
B．(1,0)
C．(0，－1)
D．(0,1)
(2)设抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，
|MF|＝5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为( )
A．y2＝4x 或 y2＝8x
B．y2＝2x 或 y2＝8x
C．y2＝4x 或 y2＝16x
答案：1 5．斜率为 1 的直线经过抛物线 y2＝4x 的焦点 F，且与抛物线 相交于 A，B 两点，则线段 AB 的长为________． 答案：8
[典题 1] 设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，若 B(3，2)，则|PB| ＋|PF|的最小值为________．
[听前试做]
如图，过点 B 作 BQ 垂直准线于 Q，交抛物线于点 P1，则|P1Q| ＝|P1F|.
2．抛物线的标准方程 (1)顶点在坐标原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程 为： y2＝2px(p>0) ； (2)顶点在坐标原点，焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程 为： y2＝－2px(p>0) ； (3)顶点在坐标原点，焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程 为： x2＝2py(p>0) ； (4)顶点在坐标原点，焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程 为： x2＝－2py(p>0) ．
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有 关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题 也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是 解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
[典题 2] (1)(2015·陕西高考)已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的
准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )