第十五章分式知识点总结及复习

分式及分式的基本性质

知识点一：分式的定义

一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B

A

叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件

①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨

⎧≠=0

B A ）

④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨

⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<0

B A ）

⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩

⎨⎧><00

B A ）

⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）

⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 经典例题 1、代数式1

4x

-

是（ ） A .单项式 B .多项式 C .分式 D .整式 2、在

2x ，1()3x y +，3ππ-，5a x -，24

x y -中，分式的个数为（ ） A .1 B .2 C .3 D .4

3、当a 是任何有理数时，下列式子中一定有意义的是（ ） A .

1a a + B .21a a + C .211a a ++ D .21

1

a a +- 4、当1x =时，分式①

11x x +-，②122x x --，③211x x --，④31

1

x +中，有意义的是（ ）

A .①③④

B .③④

C .②④

D .④ 5、使分式

84

83x x +-的值为0，则x 等于（ ） A .38 B .12- C .83 D .12

6、若分式2212

x x x -+-的值为0，则x 的值是（ ）

A .1或－1

B .1

C .－1

D .－2

7、当x 时，分式

1

1x x +-的值为正数. 8、当x 时，分式1

1x x +-的值为负数.

9、当x = 时，分式1

32

x x +-的值为1.

知识点三：分式的基本性质

1.分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：

C B C ••=

A B A ，C

B C

÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何

两个，分式的值不变，即

B

B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意

C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 经典例题 1、把分式

a

a b

+的分子、分母都扩大2倍，那么分式的值（ ）

A.不变

B.扩大2倍

C.缩小2倍

D.扩大4倍

2、下列各式正确的是（）

A.

1

1

a x a

b x b

++

=

++

B.

2

2

y y

x x

=C.

n na

m ma

=，（0

a≠）

D.n n a m m a

-=

-

3、下列各式的变式不正确的是（）

A.

22

33

y y

-

=-B.

66

y y

x x

-

=

-

C.

33

44

x x

y y

=-

-

D.

88 33

x x

y y -

-=

-

知识点四：分式的约分

定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。知识点四：最简分式的定义

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

经典例题

1、约分：①

2

2

2

________

20

ab

a b

=；②

2

2

9

________

69

x

x x

-

=

-+

2、化简

2

2

9

3

m

m

m

-

-

的结果是（）

A、

3

+

m

m

B、

3

+

-

m

m

C、

3

-

m

m

D、

m

m

-

3

知识点五：分式的通分

①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来

的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的

公分母叫做最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤：

Ⅰ取各分母系数的最小公倍数；

Ⅱ单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为

一个因式；

Ⅲ相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

经典例题

1、分式

2

2

3

c

a b

，

4

4

a

b c

-

，

2

5

2

b

ac

的最简公分母是（）

A.12abc

B.12abc

-C.242

24a b c D.242

12a b c

2、通分：

222

,,

693

x y z

ab a bc abc

-

；

知识点六:分式的四则运算与分式的乘方