1.4最短距离——大圆航线

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平面图示：最短航程不过两极点， 具体又可分为两种情况：
①甲地位于乙地的东方，从甲到乙的最短航程为：同在北半 球，先向西北，后向西南(如图a，思考：南半球图该怎么 画？ ) ；同在南半球，先向西南，后向西北。若位于不同 半球时需要讨论。
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比较弯曲的，所以实际数值要大一些，故选B。
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补充：如何利用经纬网算距离
北纬45度纬线的半径为 北纬45度半径乘以2π 赤道的周长是 40000km=2 π 乘以赤道 的半径
相当于赤道半径的cos北纬45 北纬45度的 含义为赤道 与半径呈45 度的夹角
A
A到B的最短距 离走向是向正南 方向
B
B
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讨论2：与经线圈斜交的大圆
若两地经度差不等于 180°，则过两点的大圆
不是经线圈，而与经线圈斜交。
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同一纬线上的两点，其最短距离的劣弧线向较 高纬度凸(如图中同一条纬线上MK之间的最短航线 是弧MPK，而不是弧MQK，赤道上除外)。
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②甲地位于乙地的西方，从甲到乙的最短航程 为：同在北半球，先向东北，后向东南 ( 如图 b ，
思考：南半球图该怎么画？)；同在南半球，先向
东南，后向东北。若位于不同半球需要讨论。
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地球上最短航线一定是地球上大圆的劣弧。在最短航
由C到D先东南后东北
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由于ABE为 0°即赤道， 所以是最短 航线大圆， 即从B到E岸 按照地球自 转方向向正 东即可，千 万不要再向 南或向北偏！
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E
(2010· 全国Ⅱ卷)
分析图文资料，完成下列各题。
亚地区与我国西部有长达3300千米的边界线，
是当今世界石油、天然气等资源储量丰富的地区
之一。苏联的解体和中亚五国的独立，凸显了中 亚地区在国际战略格局中的地位。 图见下页
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材料
哈萨克斯坦是中亚最大的国家，工农业较发达，
主要有采矿、冶金、机械制造等工业。2007年以来，哈 萨克斯坦成为中亚地区最重要的油气生产和输出国。 2009年12月14日，中国—中亚天然气管道(见图中黑粗 线)通气仪式在土库曼斯坦阿姆河右岸举行，该天然气管 道开通前，中国从中亚进口的天然气主要依靠海运；管 道开通后，不仅缩短了天然气的运输距离，而且安全系 数大大提高。
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A、B两点都位于北半球 且位于同一条纬线上。 A B
A点到B的最短距离是： 先东北，再东南
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A、B两点都位于南半球 且位于同一条纬线上
A
B
A点到B的最短距离是： 先东南，再东北
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线节约成本的一个因素。（考试注意事项）
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再次巩固
A、B两点都位于南半球 且位于同一条纬线上
A
B
A点到B的最短距离是： 先东南，再东北
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总结： 地球表面两点间最近的球面距离为大圆的劣弧， 1、若两点在同一经线圈上，则向南或向北沿经线圈走劣弧。 2、若不在同一经线圈上则走弯曲向极点的劣弧。
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模拟真题
[解析] 可以用图解法解答此题。 根据题意作右图，过甲、乙两地画出 地球球面上的大圆，大圆与 115°E(80°E和150°E中间的经线) 相交于点A，判断劣弧甲—A—乙的走 向即可正确作答。甲—A是向东北， A—乙是向东南。
[答案] C
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补充：如何利用经纬网算距离 同一经线上，跨纬度1°的弧长约为111km。
若两地在同一条经线上，只要知道两地的纬度差， 就能计算出两地间的距离(纬度差×111km/1°)。
如：赤道与20°N之间的距离等于20×111km。
赤道上，跨经度 1°的弧长约为 111km ；任一
纬线上，跨经度1°的弧长约为111km×cosφ
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讨论3：最短航线大圆——赤道
最短航线方向 在同一纬线上(除赤道外)，最短航线的方向：同在北半 球，先向北、再向南，东西方向可根据地球自转方向来定(画 出地球自转方向箭头，箭尾为西，箭头为东)。同在南半球，先向南、再 向北，东西方向可根据地球自转方向来定。
0°
0°
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地球上任意两地间最短航线(大圆航线)的判断
在地球上，三种情况下“大圆”是确定的： A.赤道 B．经线圈 C．晨昏圈
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讨论1：经线圈大圆航线
具体又分为以下几种情况： • 若两地经度差等于180°，过这两点的大圆便是这两地所在经线
图中所示天然气管道长度约为__________。 (提示：sin45°≈0.71) A．1300km C．1000km
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B．1800km D．2100km
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【思维过程】 本题考查利用经纬度来计算距
离，天然气的管道可以通过求解直角三角形的
两个直角边来计算，经线跨度为5×111＝ 555km ；而纬线跨度为19°×111×cos45°＝ 1497km，然后天然气的管道长度等于两者的平 方和的开方，结果为1600km左右，因为管道是
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讨论3：最短航线大圆——晨昏线
晨昏线上的两点，由于晨昏线本身就是一个大圆，故两点 最短航线就是两点之间的较短晨昏线(即劣弧线)。
N
由于地球的体积相对 于太阳体积太小，太 阳光照射到地球，从 而使地球在任何时刻 总是一半白昼，一半 黑夜。因此晨昏线在 任何时刻总是平分地 球，因此晨昏线一定 是最短大圆航线。 S
B A C
左图中A和B同在一经线 圈上，A到C同在一纬线圈 上 A到B、A到C的最近距 离的方向分别是： A到C的最近距离的方向 应该是先向东北，再向东， 最后向东南
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总结： 地球上最短航线要选择大圆劣弧。 没有现成大圆，做大圆劣弧。北半球两点的大圆劣弧如下 左图所示，应是向高纬(或者向极点弯曲)，所以若从E到 F，则先东北—东—东南，若F向E，则西北—西—西南， 南半球的大圆也应向高纬弯曲，如下图中G到H，先东南 —东—东北，H到G，则西南—西—西北。（其东和西这 两个方向是另一种说法，在有的参考资料上有所体现，但 可以把这个省掉。）
圈，其最短航程过极点。
N
b
a
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S
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具体又分为三种情况：
①同位于北半球，最近航程一定是先向北，
过极点后，再沿该经线圈向南；
②同位于南半球，最近航程一定是先向南，
过极点后，再沿该经线圈向北； ③两地位于不同半球，这时需要讨论，要看
是过北极点为劣弧，还是过南极点为劣弧，要根
据劣弧法则来确定。
N
A:40S,120 S
B:40S,X
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最短距离：两地的经度相差180度
A
B C
D
从A到B的最短距离是：先向 北 方 向再向 南 方向
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最简单：两地间最短距离的走法
同在一条经线上：
A
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总结：
两点间的最短距离必须是过这两点所在的大 圆，特别要注意一些特殊的隐藏信息，如在晨昏
圈或经线圈上的两点、南北两极点、赤道上两点
间的距离等。（找隐含信息）
本节内容更加注重学生的空间想象能力。在
实际考试过程中，此知识点可能作为选择题的一 个选项作为判断，或者综合题考虑的一个最短路
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解决实际问题
读世界局部地区略图(如下)，分析回答：连接东北亚与美 国、加拿大西北部的航线通常选择安克雷奇作为中转机场，选择这条 飞行线路的理由可能有哪些？
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[解析] 明确东北亚的地理位置(中、朝、俄三国交界处)，由 东北亚飞往美国、加拿大西北部，把安克雷奇作为中转机 场，飞行方向是先东北，后东南，基本上是沿地球表面大 圆的劣弧飞行，距离较近；由图例可知，安克雷奇石油资 源丰富，可为飞机补充燃料。
线的方向判读时，在俯视图中，经过两点大圆的劣弧部分 形状可以简单视为两点间的直线(如右图)。
乙 N
40°N
甲
40°N
最简单的方法：画出极地俯视图，判 断方向：先东北方向，后东南方向
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再次巩固
A、B两点都位于北半球 且位于同一条纬线上。 A B
A点到B的最短距离是： 先东北，再东南
北纬45度 半径相等 此角度为45度 赤道
结论：任何纬度的半径相当于赤道半径的cosA（A表示当地纬度数） 任何纬度的周长相当于赤道周长40000km乘以cosA 赤道上1 °等于40000除以360 °=111km/度 任何纬度的1°相当于赤道1 °乘以cosA
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B
A
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方向问题：立体图示
非赤道的纬线上两点，所在“大圆”具有以下特征：北半球—— 大圆向北极方向倾斜；南半球——大圆向南极方向倾斜 确定“劣弧”：大圆上两点间的最短距离具体应该是哪一段弧线 ，则由“劣弧”来决定，所谓“劣弧”即两点间的弧度<180°，如右 图中PQ间的劣弧为上侧一段弧，P′Q′间的劣弧为下侧一段弧。 沿劣弧的行进方向即为最短航线。
[答案] 距离较近；沿线有加油站，中途可以给飞机补充燃料。
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模拟真题
[2010·长春模拟] 2010·长春模拟从甲地(70°N,80°E)到 乙地 (70°N,150°E) ，若不考虑地形因素，最近的走法是 ( ) A.一直向正东走 B．先向东南，再向东北 C.先向东北，再向东南 D．一直向东北走
(φ为当地纬度)。
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Hale Waihona Puke Baidu
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本题可以粗略计算， 管道以通过北纬45度 计算，大概穿过的经 度数为20个。北纬45 度每个经度的宽度相 当于赤道的cos45。 便得管道长度为 20*111*cos45=1576
本题应当在经纬线专题出现，在此出现的意义在于让同学们更加深刻的认 识，管道布局应除考虑自然要素和社会经济要素外，还要考虑管道的长度。 管道建设以应当尽可能短以节省投资。本题的管道走向符合本节讲解的最 短路线原则。
最短距离求解——大圆航线
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地球上任意两地间最短航线 ——球面上两点间的最短距离
两地间的最短航线即大圆航线， 两地间过大圆劣弧的路径最短。
大圆之理解：
经过地心且平分地球的圆（与地球表面 交线）称之为大圆
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图中确定“大圆”：“大圆”即球面 两点所在的过球心的平面与球面的交线
模拟真题
[点评] 本题的问题由“地图方向”与“球面最短距离”两个小问 题叠加，“最近走法”是题目核心要求，运用数学中“球面上任意两 点的最短距离是过这两点的大圆劣弧长”的知识即可作出正确判断。 解答此类题目，常通用作极点俯视图的方法来解答，如本题可作图如 右，通过作图、析图可作出准确判断。
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