ami拟合第四讲基本理论与正交多项式

证明 设权函数为( x), 正交函数系为：{0 ,1 ,... n }
(反证)假设{0 ,1 ,... n }线性相关，
即存 在不全为 零的实数c0 , c1 ,...cn使得 ：
c0 0 c11 ... cn n 0
不妨设 ci 0，则有：
c（0 0，i ) c（1 1，i ) ... c（n n，i ) c（i i，i ) 0
特别地
( x1 y1 x2 y2 x3 y3 )2 ( x12 x22 x32 ) y12 y22 y32
定理3 Gram矩阵
设X为 一 内 积 空 间 ，u1 , u2 ,...un X ,
(u1 , u1 ) (u1 , u2 ) ... (u1 , un )
G (u2 , u1 ) (u2 , u2 ) ... (u2 , un )
若Ak 1,则称之为标准正交函数系.
例 如, 三 角 函 数 族 1,cos x,sin x,cos 2x,sin2x,.......
就是在区间 , 上的正交函数族.
回忆傅氏级数的结论
三角函数系：
{1,cos x,sin x,cos 2x,sin2x, cos nx,sinnx, }
正交性： (1)任意两个不同函数在[ , ]上的积分等于零.
而（ i， i ) 0,只有 ci 0 矛盾
证毕
定理3.3 设 k ( x)是k次多项式，( x)为权函数，
则{k ( x)}在[a, b上]正交的充要条件是：
对
任
意
的
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多k
1次
的
多
项
式Qk
，
1
都
有
b
(k ,Qk1 ) a ( x)kQk1dx 0 (k 1,2,...)
证明：
｛ k ( x)｝正交
cos nxdx 0,
sin nxdx 0,
sin mx cosnxdx 0.
(其中m,n 1,2, )
(2)任意两个相同函数在[ , ]上的积分等于 .
sin
mx
sin
nxdx
0, ,
mn ,
mn
cos
mx
cos
nxdx
0, ,
mn ,
mn
(1,1) 2 ,(sinkx,sinkx) (coskx,cos kx) ,
有K中一个数与之对应，记为 (u, v),它满足以下条件：
（1）(u, v) (v, u)
(2)( u, v) (u, v)
(3) (u v, w) (u, w) (v, w)
u, v, w X , K
(4) (u, v) 0,当且仅当u 0时，(u, u)＝0
则称(u, v)为X上的内积。 { X (线性空间), ( , )}称为内积空间
而 对k, j 1,2,...
当k j时,
有(coskx,sinkx) (1,cos kx) (1,sinkx) 0
(coskx,cos jx) (sinkx,sin jx) (coskx,sin jx) 0
二、 正交函数系的性质
定理3.2 区间〔a,b〕上关于权函数的正交函数系 必定线性无关
b
( x) f ( x)( x)dx 0
a
则称f ( x)与g( x)在a, b上带权( x)正交.
若函数族0 ( x)，1 ( x), n ( x)， 满足关系
( j， k )
b
0，
a
( x) j ( x) k ( x)dx
{ Ak
0,
jk jk
则称{ k ( x)}是a，b上带权( x)正交函数系;
b
a ( x) k Qk1dx 0
｛ k ( x)｝ 正 交｛ k ( x)｝ 线 性无 关组
k 1
Qk1 ( x) 线性组合 b j j ( x)
b
b
j0 k1
a ( x) k Qk1dx a ( x) k ( x) b j j ( x)dx
j0
k1
＝ bj
b a
(
x
)
k
(
x
)
j
(
(un , u1 ) (un , u2 )
(un , un )
G非奇异 u1 , u2 ,...un线性无关
第6节 正交多项式
一、 正交多项式的基本概念
正交多项式是函数逼近的重要工具
定义 3.2
若f ( x)，g( x) C 0 a, b，( x)为a, b上的权函
数且满足
( f ( x)，g( x))
x
)dx＝0
j0
要证明：( j，k )
b
0，
a
( x) j ( x)k ( x)dx
{ Ak
0,
jk jk
若 对 任 意 的k ,
b
(k ,Qk1 ) a ( x)kQk1dx 0 (k 1,2,...)
特别取：Qk1 ( x) j ( x)
b
( k , j ) a ( x)k ( x) j ( x)dx 0
范数与赋范空间 设S为 线 性 空 间 ， • 为S 上 的 范 数 ，
则 ｛S, • ｝ 称 为 赋 范 线 性 空 间 。
内积与内积空间 N维数量空间内积
( x, y) x1 y1 x2 y2 ... xn yn ( x, y) x1 y1 x2 y2 x3 y3
推而广之
设X是数域K(R 或C）上的线性空间，对u, v X ,
生成空间：S span{ x1 , x2 ,... xn }
生成空间：S span{1, x, x 2 ,... x n } H n N+1维空间
定理1 Weierstrass
设 f ( x) C[a, b],则对任何 0,总存在多项式p( x),
使得：
p( x) f ( x)
在[a, b]上一致成立。
内积空间常用的范数为： u (u, u)
C[a, b]上的内积定义为：
b
( f ( x), g( x))a ( x) f ( x)g( x)dx
范数定义为：
1
f ( x) ( b f 2 ( x)dx) 2
2
a
内积空间的重要结论 定理2 Cauchy-Schwarz不等式
设X是 一 内 积 空 间 ， 对u, v, X , 有 (u, v) 2 (u, u)(v, v)
第二章 插值与拟合
第5节 函数逼近的基本概念
函数逼近
简单函数 p( x) 复杂函数 f ( x) 要求：
f ( x) p( x) 尽可能小 （足够的小）
N维空间 H n { Pn ( x),,}
C[a, b]{[a, b]区间上的连续函数，，数乘}
C p[a,b]{[a,b]区间上具有p阶连续导数的函数，，数乘}