双曲线的定义及其标准方程详解

如何建立适当的直角坐标系？
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案 yy y y
M
y FO1 O O F2x xx
O
x
O 方案一x
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段
所在的直线作为坐标轴.) (对称、“简洁”)
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
双曲线及其标准方程
复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
Y
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
O
2. 引入问题：
F1 c, 0
Mx, y
F2 c, 0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
例2:如果方程 x2 y2 1 表示双曲
2m m1 线，求m的取值范围.
解: 由(2 m)(m 1) 0 得m 2或m 1 ∴ m 的取值范围为 (, 2) U(1, )
思考：
方程 x2 y2 1 可以表示哪些曲线？ 2m m1
_____________.
例3.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆
炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
圆圆心M的轨迹方程．
【解】 ∵圆 M 与圆 C1 外切，且与圆 C2 内切， ∴|MC1|＝R＋3，|MC2|＝R－1， ∴|MC1|－|MC2|＝4. ∴点 M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的双曲线的右支， 且有 a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝5， ∴所求轨迹方程为x42－y52＝1(x≥2)．
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处 测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方 程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的 准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
利用双曲线的定义求轨迹问题
例2
动 圆 M 与 圆 C1 ： (x ＋ 3)2 ＋ y2 ＝ 9 外
切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点．
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
y
M
F1 O F2 x
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
4.化简
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
椭圆
双曲线
定义
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
方程
x2 a2

y2 b2
1(a
b
0)
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y2 a2

x2 b2
1(a
b

0)
y2 a2

x2 b2
1(a
0,b
0)
焦点
a.b.c的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
∴可设双曲线方程为:
x2 a2

y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 9 16
方法感悟
对双曲线定义的理解 双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)，不要漏 了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线． 解题时，也要注意“绝对值”这一个条件，若去掉 定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支．
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=常数
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=常数 由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 常数
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双
曲线. | |MF1| - |MF2| | = 2a
此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准
方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
y
M
M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
x2 a2

y2 b2
1
y2 a2

x2 b2
1
(a 0，b 0)
问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x2 , y2 前的系数，哪一个为正，
则在哪一个轴上
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上，并
且点O与线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为(x,y)，
y
P
则 PA PB 340 2 680 即 2a=680，a=340 Q AB 800
Ao Bx
2c 800,c 400, b2 c2 a2 44400
变式训练 1:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支),
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
例 1 已 知 两 定 点 F1(5, 0) , F2(5, 0) , 动 点 P 满 足 PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
说明
（1）2a< |F1F2| ；
思考：
（2）2a >0 ；
F1 o F2
（1）若2a= |F1F2|,则轨迹是？ (1)两条射线
（2）若2a> |F1F2|,则轨迹是？ (2)不表示任何轨迹
（3）若2a=0,则轨迹是？
(3)线段F1F2的垂直平分线
学习小结:
双曲线定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
双曲线图象
M
F1 o F2 x
M F2
x
F1
标准方程
焦点
a.b.c 的关系
x2 a2

y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
2
2
(xБайду номын сангаас c)2 y 2 2a (x c)2 y 2
cx a2 a (x c)2 y 2
(c2 a2 )x2 a2 y 2 a2 (c2 a2 )
c2 a2 b2
x2 a2

y2 b2
1(a 0,b 0)
双曲线定义的应用 例3 设 P 为双曲线 x2－ y2 ＝1 上的一点，F1，F2 是该双曲 12
线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，求△PF1F 2 的面积．
【解】 已知得 2a＝2， 又由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2， ∵|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4. 又|F1F2|＝2c＝2 13， 由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝622＋×462×－452＝0， ∴三角形 F1PF2 为直角三角形． S△PF1F2＝12×6×4＝12.
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2

y2 b2

1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
利用定义法求双曲线的标准方程 1）首先找出两个定点(即双曲线的两个焦点)； 2）然后再根据条件寻找动点到两个定点的距离 的差(或差的绝对值)是否为常数，这样确定c和a 的值， 3）再由c2＝a2＋b2求b2，进而求双曲线的方程．
Q 800 PA PB 680 0 , x
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
0
x2

y2
1( x 0)
115600 44400
思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.
思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定 爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸 点的准确位置呢?
双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的 主要依据，在应用时， 一是注意条件||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)
的使用， 二是注意与三角形知识相结合，经常利用正、 余弦定理，同时要注意整体运算思想的应用．