上海交通大学2014期末高数试卷(B类)

dx
1 x2
xy sin( x2 y 2 )dy _________________。
1 ，则 f (2015) (0) ________________。 2 1 4x
10. 设 f ( x)
三、 （本大题共 8 分）
z z 2 z , . 11. 设方程 e x y 3z 1 确定了隐函数 z z ( x, y ) ，求 , x y xy
（D） 3 。
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 6. 设连续函数 y y ( x) 满足方程 y ( x) 3e x 0 y (t )dt ，则上述方程的解为：
x
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________________________ . (请寻找定解条件，使得最终结果为特解) 7. 点 (1,1, 1) 到直线
2014 级高等数学第二学期期末试卷(B 类)
注 1：下面划去部分试题内容，不是 16 级(本次)期末考试范围。 注 2：后面增加的试题是本次期中考试范围内容。 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 设向量 a , b 满足 | a b || a b | ，则必有 (A) a 0 ； (B) b 0 ； (C) a b 0 ； (D) a b 0 . （ ） （ ）
x y z 的距离为：______________. 1 2 2
8. 设 f ( x, y ) 具有连续的偏导数，且 f (3 x, x) x 3 x ， f 2 (3 x, x ) x 2 ， 则 f1 (3 x, x) ___________________。 9.
Fra Baidu bibliotek

1 1
2 y y2
f ( x, y)dx 。
（ ）
4. 级数 (1) n （A） e
1 2
1 的和为： 2 n!
n
1；
（B） e

1 2
1 ；
（C） e 1 ；
（D） e

1 2
。 （ ）
5. 下列命题中，正确命题的个数为 ① 幂级数 (n 1)an x n 与
n 0
an n x 的收敛半径相同； n 0 n 1
f ( x, y) g ( x) h( y) 的充要条件为：
2 f 0。 yx
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z 2 2
四、 （本大题共 18 分，其中第 12 题 8 分，第 13 题 10 分）
x2 y 2 z 2 1 12. 求曲线 C : 在点 (1, 2, 2) 处的切线方程。 z xy
13. (1) 设 f ( x, y ) x 2 2 y 2 ，求 f ( x, y) 的梯度，及 f ( x, y) 在定点 P0 ( x0 , y0 ) 处方向导数的最大值； (2) 求(1)中函数 f ( x, y) 在圆周 C : ( x 1) 2 y 2 1 上的方向导数的最大值。 五、 （本大题共 18 分，其中第 14 题 8 分，第 15 题 10 分） 2 cos x 2 y 2 dxdy ] ，其中 D ： x 2 y 2 t 2 。 14. 求 lim[ 2 t 0 t D
1 15. 计算 ( x2 y 2 )dxdy ，其中 D ： x 2 ( y 1)2 1 。 4 D
六、 （本大题共 18 分，其中第 16 题 8 分，第 17 题 10 分） 16. 求级数
( 1) n 1 的和。 n 1 n ( n 1)

x3 展开为 x 的幂级数，并求 f (2 n1) (0) (n 0,1, 2,...) . x 3 七、证明题（本题 8 分） a 18. (1) 若级数 xn 绝对收敛，且级数 n 收敛，证明：级数 an 绝对收敛。 n 1 xn n 1 n 1 a (2) 若级数 xn 收敛，且级数 n 收敛，请猜测级数 an 是否收敛， n 1 xn n 1 n 1
)
（D） 以上（A） 、 （B） 、 （C）都不正确。 5. 考虑以下命题， ① 若可微函数 f ( x, y ) 在区域 D 内满足 f x ( x, y ) 0 ，则有 f ( x, y) ( y) ； ② 若函数 f ( x, y ) 在 U (( x0 , y0 ), ) 内可偏导，且 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y 0 ) 间断，则
)
（A） 等于 0 ；
2
（B）等于 1 ；
3. 设有二元方程 x y sin( xy ) 0 ，则在 (0, 0) 点的某邻域内，此方程 （A）仅可确定一个具有连续导数的隐函数 x x( y) ； （B）仅可确定一个具有连续导数的隐函数 y y ( x) ； （C） 可确定两个具有连续导数的隐函数 y y ( x) 和 x x( y) ；
17. 将 f ( x) arctan
并证明（或说明）你的猜测结论。
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2014 级第二学期《高等数学》期中考试试卷 (B 类) （多元微分学部分试题）
1. 设 f ( x, y )
2x2 y4 ，则 lim f ( x, y) x 0 x2 y 2 y 0
( （C）等于 2 ； （D）不存在。 (
2. 微分方程 y 4 y 4 y e x sin 2 x 的一个特解形式为： （其中， a, b, c 是待定常数。 ） (A) y* ae x b sin 2 x ； (B) y* ae x b cos 2 x c sin 2 x ； (C) y* ae x x (b cos 2 x c sin 2 x) ； (D) y* ae 2 x x 2 (b cos 2 x c sin 2 x) 。 3. 交换二次积分 0 dx x2 (A) (C)
1 2 x x2
f ( x, y)dy 的积分次序，结果为
(B) (D)
（
）
0 dy 1 0 dy
n 0

1
y 1 y
2
f ( x, y)dx ； f ( x, y)dx ；
0 dy 1
1
1
y 1 y 2
f ( x, y)dx ；
1
1 1 y 2 y
0 dy y2

1 ② 若级数 an 条件收敛，则级数 an 绝对收敛； n 1 n 1 n
③ 若级数 an ,
n 1

b
n 1

n 都发散，且 an cn bn ( n 1, 2, ) ，则 cn 也发散。 n 1

（A） 0 ；
（B） 1 ；
（C） 2 ；
)
6. 设 z x y ，则 dz |(e,1) ___________________。
12. 设函数 f (u, v) 具有一阶连续偏导数， z
xy 0
f (t ,et )dt ，求
2z z ， 。 xy x
18. 设 f ( x, y ) 在 R 2 上具有连续的二阶偏导数， 证明： f ( x, y ) 在 R 2 上可以表示为
f x ( x, y ) 与 f y ( x, y ) 中至少有一个在 U (( x0 , y0 ), ) 内无界。(其中 0 。)
上述命题中 （A）仅① 正确； （C）①、②都正确； 11. 求极限 lim e x y sin x xy 。
x 0 y 2 1
( （B）仅② 正确； （D）①、②都错误。