第六节多元函数的极值及其求法(1)36页PPT文档

偏导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v ， z z u z v
x u x v x y u y v y
链式图如右所示
u
x y
z v
x
y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
类似地再推广，设u ( x, y)、v ( x, y)、
w w( x, y)都在点( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，
f122fu(uv,v),
同理有 f2, f11, f22.
w x
f uf v u x v x
f1 yfz2 ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2w xz
( z
f1
yzf2)
w w (x ,y ),则
z
z
u
z
v
z
w
,
x u x v x w x
z
z
u
z
v
z
w
.
y u y v y w y
x
uy
x
zv y wx y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
【例 1】 设z eu sin v ，而u xy，v x y，
求 z 和 z . x y
自画链式图
【解】
z z u x u x
dt
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 【中间变量均为多元函数】
上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是
多元函数的情况： z f[(x ,y ),(x ,y )].
【定理 2】若u ( x, y)及v ( x, y)都在点( x, y)具有对 x 和 y的偏导数，且z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数， 则复合函数z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个
【练习】 设 uf(R co t,R sit,v n)t求 ,d.u dt
【提示】由于含抽象函数,一般要先设中间变量. 【解】 令 x R ct,o y R st, i z n v , t
则 uf(x,y,z) ,x R ct ,y o R s s t ,z i v n , t duudx u dy u dz dt x dt y dt z dt f 1 ( R s t ) if 2 n R c t o f 3 v s
z
v
x y
wx
y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.【中间变量既有一元又有多元函数的情形】
【定理3 】 zf(u ,x,y)其中 u(x,y)
u
x y
即 z f[(x ,y )x ,y ]变,量关系为： z x
y
zf uf,
z f uf .
区 别
x u x x y u y y 类
似
两者的区别
把 z f (u, x, y)中
一、多元复合函数微分法
1. 【中间变量均为一元函数】
【定理 1】若u (t)及v (t)都在点t 可导，z f (u,v)
在 对 应 点 (u,v) 具 有 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数
z f [ (t), (t)]在对应点t 可导，且其导数可用下列公
式计算：
dz z du z dv． dt uቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdt v dt
【例 2】 设z uv sin t ，而u et ，v cos t ，
【解】
求全导数 dz . dt
自画链式图
d zzd uzd vz dtudtvdtt
vte u sit n co t s
e tcto e tsti n ctos
et(cto ssit)n co t. s
机动 目录 上页 下页 返回 结束
的u及 y 看作不变而 把复合函数 z f [ ( x, y), x, y] 对 x的偏导数 中的 y看作不变而对 x的偏导数
函数复合后求偏导
外层函数求偏导
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4.【多个中间变量且中间变量既有一元又有
多元函数的情形】
如 zf(u ,v ,w )u , (x ,y )v , (x ,y ),
函数 z f (u,v, w)在对应点(u,v, w)处具有连续偏导
数，则复合函数z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应
点( x, y)的两个偏导数存在，
且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
z
w
,
x u x v x w x
z
z
u
z
v
z
w
.
y u y v y w y
x
uy
【证】设t获得增t量 ，则 u (t t)(t), v (t t)(t);
由于函数z f (u,v)在点(u,v)有连续偏导数
z u z u v z v1 u 2 v ,
当u 0，v 0时， 1 0 ， 2 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z t u z u t v z v t1 u t2 v t
机动 目录 上页 下页 返回 结束
【练习】 设 z arv c ,u tx a y ,n v x y ,求 z.
u
y
【分析】链式图法自己做，下面介绍观察法
【解 】 zzuzv y u y v y
1v
11
1u v22(u2)(1)1u v22u
u u2
v v2
x2
x
y2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z v v x
eusivn yeuco v1 s
eu(ysivn cov)s e x[y ysix n y ) (co x y s)， (]
z z u z v e u sv ix n e u cv o 1s y u y v y
eu(xsivn cov)s e x[x ysix n y ) (co x y s )( ]
【注意】用观察法可一步写出结果.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
【例 3】设w f ( x y z, xyz)， f 具有二阶 连续偏导数，求w 和 2w . x xz
【分析】求抽象函数的偏导数，一般要先设中间变量.
【解】 令 u x y z , vxy;z
记
f1f
(u,v), u
当t 0时，u 0，v 0，u du,
t dt d zli m zzd u zd.v dt t 0 t udtvdt
v dv, t dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 d d zt u zd d u t v zd d v t w zd dw t z
u v
t t
wt
以上公式中的导数 dz 称为全导数.