微分方程模型课件

•解 输入命令 ：
• [x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't')；
• •结 果 为：x =C2*exp(2*t)+C3*exp(-t) •y =C2*exp(2*t)+C3*exp(-t)+exp(-2*t)*C1
（3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的 规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的 ，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建 立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求 解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情 况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现 象。
微分模型的建模原理
•5、概念框架
•前面阐述的都是使用微分方程建模的关键问题。当面临 •一个典型问题是，首先必须有一个明确的概念框架 •（建立其他模型也是如此），这个概念框架就是关键步骤。 •具体如下： •（1）把用语言描述的情况转化为文字方程。 •（2）陈述出所涉及的原则或物理定律。 •（3）建立微分方程，配备方程各子项的单位。 •（4）给定约束条件，包括初始条件或其他条件。 •（5）给出微分方程的解。 •（6）求出微分方程的常数。 •（7）给出问题答案。 •（8）检验答案是否满足问题的要求。 •在建模过程中，明确了概念框架，然后就是依次完成 •框架中每一步所要做的事情。
• 将t=2010-1999=11代入上式，得2010年我国的 GDP的预测值为
•[环境污染问题]
• 某水塘原有50000t清水(不含有害杂质)，从时间 t=0开始，含有有害杂质5%的浊水流入该水塘．流入的 速度为2t/min，在塘中充分混合(不考虑沉淀)后又以 2t/min的速度流出水塘．问经过多长时间后塘中有害物 质的浓度达到4%?
建立微分方程模型的一般准则
（1）转化翻译 ：有许多表示导数的常用词，如速率、 增长、衰变、边际、弹性等。改变、变化、增加、减 少这些词可能是一种暗示信号，只需弄清楚什么在变 ，随什么而变，这时也许导数就用得上。
（2）机理分析：将所研究的问题看成一个封闭和系统 ，思考研究的问题是否遵循什么原理或物理定律，是 应该用已知的定律还是去推导问题的合适结果？在不 知道问题的机理时，合理的想象和类比是很重要的！ 对平衡式： 变化率=输入率-输出率。 能理解它，并且能使用正确的物理量纲，或许就 得到了需要的微分方程。
•2、准确性和总体特征 •微分方程式一个在任何时刻都必须正确的 •瞬时表达式，这是问题的核心。建立微分 •方程模型，首先要把注意力放在方程文字 •形式的总关系上：
• 净变化率=输入率—输出率 •或者：
•变化率（微商）=单位增加量--单位减少量
•等式通常是利用已有的原则或定律。
•3、单位 •一旦确定了哪些子项应该列入微分方程中， •就要确保每一项都采用同样的物理单位。 •这是在建立微分方程过程中容易疏忽的问题。
• 欧拉方法的Matlab 实现程序如下： • function [x,y]=euler(fun,x0,xfinal,y0,n); • if nargin<5,n=50; • end • h=(xfinal-x0)/n; • x(1)=x0;y(1)=y0; • for i=1:n • x(i+1)=x(i)+h; • y(i+1)=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i)); • end
•（2）求通解 •分离变量得
•积分得
•（3）求特解 • 把初值条件H(0)=37代入通解，求得C=17．于是该初 值问题的解为
• 为求出k值，根据两小时后尸体温度为35℃这一条 件，有
Baidu Nhomakorabea •求得
，于是温度函数为 •(1)
•将H=30代入式 (1) 有
，即得
(h)。于是
•可以判定谋杀发生在下午4，点尸体被发现前的8.4h，即
？
•注:牛顿冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与 •物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却 • 定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定．
•解 （1）建立微分方程 •设尸体的温度为H(t)(t从谋杀后计)，根据题意，尸体 •的冷却速度 •与尸体温度H和空气温度20之差成 •正比．即
•其中k>0是常数，初始条件为H(0)=37．
2.微分方程模型是物理、生物进化等定律精确的定 量描述。
建立微分方程模型的方法
（1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或 经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。如 牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等.我们 常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程.
（2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式， 与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数 及其导数应用规律。
•基本思想：利用
在某些特殊点上的函数值的
•线性组合来构造高阶单步法的平均斜率。
数学模型，其建模方法在数学模型竞赛中占有重 要的地位。
1.微分方程模型是机理分析建模方法的最佳体现: 根据对象的特征和目的，对问题进行必要的简化 和假设，用精确的语言做出适合的数学语言表达 的假设，然后根据所作的假设来分析对象的因果 关系，利用对象的内在规律建立 各个量之间的等 式关系或其他数学结构。
•（二）建立数值解法的一些途径
•1、用差商代替导数 • 若步长h较小，则有 •故有公式： •此即欧拉法。
• 对于欧拉公式(1)我们看到，当
时公
式右端的 都是近似的，所以用它计算的 会
有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨
论比较简单的所谓局部截断误差。
• 假定用(1)式时右端的 没有误差，即
,
（5）定解条件：系统在某一特定时刻的信息，独立 于微分方程而成立。利用它们来确定有关的常数 ，包括比例系数、原微分方程的其它参数以及解 中的积分系数。
小案例 ------求解析解
• 1 国民生产总值 • 2 环境污染问题 • 3 刑事侦察中死亡时间的鉴定
• [国民生产总值]
• 1999年我国的国民生产总值（GDP）为80 423亿元 ，如果我国能保持每年8%的相对增长率，问到2010年 我国的GDP是多少？
（3）微分方程模型：微分方程是在任何时刻必须正 确的瞬时表达式。如看到了表示导数的关键词， 就要寻找y’(t)与y(t),t的关系。首先将注意力集中 在文字形式的关系式变化率=输入率-输出率上， 然后准确填好式中的所有项。
（4）单位：一旦确信了哪些项应该列入微分方程中 ，就要确保第一项都彩同样的物理单位，保证式 子的平衡。
•z =C2*exp(2*t)+exp(-2*t)*C1
微分方程的数值解
• （一）常微分方程数值解的定义
在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且 大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，一 般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的 近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计 算的表达式。
因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的 。
那么由此算出
•
(2)
• 局部截断误差指的是，按(2)式计算由 到 这 一步的计算值 与精确值 之差
为了估计它，由Taylor展开得到的精确值
是
(3)
• (2)-(3), 注意到
,得
(4)
• 即局部截断误差是 阶的，而数值算法的
精度定义为：若一种算法的局部截断误差
为
，则称该算法具有p阶精度。显然
• p 越大，方法的精度越高。式(4)说明，欧 拉方法是一阶方法，因此它的精度不高。
•解 （1）建立微分方程 • 设在时刻t塘中有害物质的含量为
，此时塘中
•有害物质的浓度为
，于是有
•单位时间内有害物质的变化量 • =(单位时间内流进塘内有害物质的量)
•-(单位时间内流出塘的有害物质的量)
•即
, （1）
•初始条件为Q(0)=0. • （2）求通解
•式（1）是可分离变量方程，分离变量得
•2、使用数值积分 •对方程 有：
两边由 到
积分，并利用梯形公式，
•故有公式：
(5)
•实际应用时，与欧拉公式结合使用：
•此即改进的欧拉法。
• 由(5)式可知，
所以改进的欧拉方法是二阶的，精度较欧拉 方法要高，实用性更加广泛。
• 为了编程方便，常把(3)式改写为
• 则改进欧拉方法的matlab实现程序为： • function [x,y]=eulerpro(fun,x0,xfinal,y0,n); • if nargin<5,n=50; • end • h=(xfinal-x0)/n; • x(1)=x0;y(1)=y0; • for i=1:n • x(i+1)=x(i)+h; • y1=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i)); • y2=y(i)+h*feval(fun,x(i+1),y1); • y(i+1)=(y1+y2)/2; • end
•8小时24分钟，所以谋杀是在上午7点36分发生的．
微分方程的解析解的MATLAB实现
• 求微分方程（组）的解析解命令: •dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…,‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
• 结 果： u=tan(t+C1))
• 解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x') •结 果 为 : y =3*exp(-2*x)*sin(5*x)
龙格-库塔方法
• MATLAB运算程序为 [x,y]=ode23(‘f’,ts,y0,tol) ode23为2、3阶龙格-库 塔公式 [x,y]=ode45(‘f’,ts,y0,tol) ode45为4、5阶龙格-库 塔公式 [x,y]=ode15s(‘f’,ts,y0,tol) ode15s同ode45 f为常微分方程（组）函数,ts表示自变量的求解区 间或范围,y0为函数的初值,tol为误差限 调出结束后输出变量x及其函数值y
•在建立微分方程的时候，所要求的其实是微分方程 •的一条解曲线，通过它来反映某些我们所要寻求的 •规律。微分方程曲线思想是，如果知道曲线上每一 •点处的导数以及它的起始点，那么就能构造这条曲 • 线。具体步骤如下： •1、转化: •实际问题中，有许多表示“导数”的常用词，如“速率” 、”增长“（在生物学以及人口问题研究中）、”衰变“ （在放射性问题中）以及”边际的“（在经济学中）等 。这些词就是信号，这个时候要注意是哪些研究对象 在变化，对这些规律的表示微分方程也许就能用得上 。
•解 (1)建立微分方程 •记t=0代表1999年，并设第t年我国的GDP为P(t)．由 题意知，从1999年起，P(t)的相对增长率为8%，即
• 得微分方程
•（2）求通解 •分离变量得
•方程两边同时积分， 得
•（3）求特解 •将p(0)=80423代入通解，得C=80423，所以从 1999年起第t年我国的GDP为
•4、约束条件 •约束条件是关于所研究对象在某一特定时刻 •的信息（比如初始时刻），它们独立于微分 •方程而存在。在建立微分方程模型后，利用 •它们来确定模型中有关的常数，这些常数包 •括比例系数、原微分方程的其他参数和解中 •的积分常数。为了完整，充分地给出问题的 •数学陈述，建模过程中应该将这些约束条件 •和微分方程一起写出。
•积分，得 •即
•（3）求特解 •由初始条件t=0,Q=0得C=-2500，故
•当塘中有害物质浓度达到4%时，应有
•由此解得
•(min)
•即经过670.6min后，塘中有害物质浓度达到4%，
•由于
•，塘中有害物质的最终浓度为
•[刑事侦察中死亡时间的鉴定] •当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37℃按照牛 顿冷却定律开始下降，如果两个小时后尸体温度变为 35℃，并且假定周围空气的温度保持20℃不变，试求出 尸体温度H随时间t的变化规律．又如果尸体发现时的温 度是30℃，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的
微分方程模型课件
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变 化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是 微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的 间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分 方程。 求解微分方程有三种方法： 1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性 理论方法。
微分方程模型是一类应用十分广泛而且最常见的