循环卷积与圆周卷积

循环卷积与圆周性卷积的实现

一、实验目的

（1）进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积和圆周卷积和的概念。

（2）理解掌握三者的关系。

二、实验原理

两个序列的N 点循环卷积定义为

[]∑-=-=⊗1

0))(()()()(N k N N m n x m h n x n h )0(N n ≤≤ （9-16）

从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点循环卷积的结果仍为N 点序列，而它们的线性卷积的结果的长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。

循环卷积和线性卷积虽然是不同的概念，但它们之间由一个有意义的公式联系在一起

[])())('()()()(1

0n G rN n y n x n h n y N N k N ∑-=-=⊗= （9-17）

其中)(*)()('n x n h n y =

也就是说，两个序列N 点循环卷积是它们的线性卷积以N 为周期的周期延拓，设序列h （n ）的长度为1N ，序列x （n ）的长度为2N ，此时，线性卷积结果的序列的点数为1'21-+=N N N ，因此如果循环卷积的点数N 小于121-+N N ，那么上述周期延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果N 满足'N N =的条件，就会有

)(')(n y n y = )0(N n ≤≤ (9-18)

这就意味着在时域不会产生混叠。因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾充填适当的零值，使得x （n ）和h （n ）成为121N N +-点序列，并作出这两个序列的11N N +-循环卷积，那么循环卷积与线性卷积的结果在0n N ≤≤范围内相同。

根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理

{}[()()][()][()]N DFT h n x n DFT x n DFT h n ⊗=• （9-19）

便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算，二是根据性质线分别求两个序列的N 点DFT ，并相乘，然后取IDFT 以得到循环卷积。第二种方法看起来要经过若干过程，但由于序列的DFT 和IDFT 都有快速算法，因此它的效率比第一种方法高得多。

同样，根据线性卷积和循环卷积的关系，可以通过计算循环卷积以求得线性卷积，提高计算序列线性卷积的效率。

三、例题及理论计算

已知有限长序列x （n ）与h （n ）如图试画出：

（1） x （n ）与h （n ）的线卷积

（2） x （n ）与h （n ）的7点圆卷积

（3） x （n ）与h （n ）的5点圆卷积

五点卷积图

四、matlab仿真

用matlab仿真，

方法一：

function y=circonv1(x1,x2,N)

%realize circular convolution use dft method if length(x1)>N

error('N must not be less than length of x1') end

if length(x2)>N

error('N must not be less than length of x2') end

X1k=[x1,zeros(1,N-length(x1))];

X2k=[x2,zeros(1,N-length(x2))];

n=[0:1:N-1]

x2=x2(mod(-n,N)+1);

H=zeros(N,N);

for n=1:1:N;

H(n,:)=cirshifted(x2,n-1,N);

end

y1=x1*H';

function y=cirshifted(x,m,N)

if length(x)>N

error('N必须大于等于x的长度')

end

x=[x,zeros(1,N-length(x))];

n=[0:1:N-1];

n=mod(n-m,N);

y=x(n+1);

方法二：

function y=circonv2(x1,x2,N)

%realize circular convolution use dft method

if length(x1)>N

error('N must not be less than length of x1') end

if length(x2)>N

error('N must not be less than length of x2') end

X1k=fft(x1,N);

X2k=fft(x2,N);

Yk=X1k.*X2k;

Y=ifft(Yk);

If(all(imag(x1)==0))&(all(imag(x2)==0))

Y=real(y);

end

运行程序：

n=[0:1:4];m=[0:1:4];

N1=length(n);N2=length(m);

xn=ones(1,N1);

hn=m;

y1n=conv(xn,hn);

y2n=circonv1(xn,hn,N1+N2-1);

y3n=circonv2(xn,hn,N1);

ny1=[0:1:length(y1n)-1];

ny2=[0:1:length(y3n)-1];