函数与导数教案
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2
x>0
log1 (−x) ，x < 0
，若 f(a)>f(-a)，则实数 a 的取
B.(-∞，-1)∪(1，+∞)
C.(-1，0)∪(1，+∞)
D.(-
a<0 a>0 或 log1 (−a) > − log2 (−a)，解得 a>1，或-1<a<0. log2 a > − log2 a 2
） A.(-2，3] B.(-2，+∞) C.(-3，2] D.[2，+∞) 考点 2.函数的基本性质 例 2.(2010·安徽)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)=1，f(2)=2，则 f(3)-f(4)=（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2 解：由于函数 f(x)的周期为 5，所以 f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1)，又 f(x)为 R 上的奇 函数，所以 f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1.故选 A. 变式练习： 2.已知函数 f(x)是偶函数， 且在区间[0， 1]上是减函数， 则 f(-0.5)、 f(-1)、 f(0)
1 e
解：设曲线在点 P 处的切线斜率为 k，横坐标为 x0,则 k=y′=(e x +1)2 = 因为 ex>0，所以由均值不等式，可得 k≥
−4
1 e
.
=-1.
2 e x + x +2
又 k<0，所以-1≤k<0，即-1≤tanα <0,所以 ≤α <π .故选 C.
4
3π
变式练习： 6.已知函数 f(x)=a x3-x(a>0)在点(x1，f(x1))处的切线在 x 轴上的截距为 x2，则当
1 12
B.
1 4
C.
1 3
D.
7 12
变式练习： 9.两条曲线 y= x与 y=x2 所围成的封闭图形的面积等于 . 考点 7.应用导数解决实际问题 例 7.（2010·江苏）将边长为 1m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪 成两块，其中一块是梯形，记 s=
(梯形的周长)2 梯形的面积
，则 s 的最小值是
×
x 2 −6x+9 1−x 2
(0<x<1)，所以 s′=
−8 3 3
×
，令 s′=0，得 x= ，或 x=3（舍去） ，当 x∈(0， )时，s′<0，s 单调递减；
3 1 32 3 3
1
当 x∈(3，1)时，s′>0，s 单调递增.故当 x=3时，s 取得最小值，最小值为 A D E
.
B C 变式练习： 10.华宇中学教学楼的直角走廊示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为 2m. C B θ 2m P A 2m （1）过点 P 的一条直线与走廊的外侧两边交于 A，B 两点，且与走廊的一边的夹角 为θ (0＜θ ＜2 ).将线段 AB 的长度 l 表示为θ 的函数； （2）一根长度为 5m 的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说 明理由（铁棒的粗细忽略不计）.
考点 4.导数的概念及其运算 例 4.（2010·辽宁）已知点 P 在曲线 y=e x +1上，α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜 角，则α 的取值范围是（ A.[0, )
4 π π 4 π 2 4
源自文库
）
π 2 3π 4
B.[ ， ） C.（ ,
]
D.[
3π 4
, π）
−4e x −4 e x + x +2
O
T
t
O
T
t
O
T
t
O
T
t
A. B. C. D. 分析：由题意可知，运输效率越来越高，只需曲线上点的切线的斜率越来越大即 可，观察图形可知，选项 B 满足条件，故选 B. 四、考题与变式 考点 1.函数基本关系问题 例 1.(2010·天津)设函数 f(x)= 值范围是（ ） A.(-1，0)∪(0，1) ∞，-1)∪(0，1) 解：由题意可得 故选 C. 变式练习： 1.已知 f(x)= 范围是（ 且方程 f(x)=x 恰有两个实根，则实数 a 的取值 f x−1 ， x> 0 ， a + 2−x ， x ≤ 0 ， log 2 x ，
1
，则
） C.
1 2
D.
3 4
考点 3.函数图象及图象变换问题 例 3.(2010·湖南)用 min{a，b}表示两数 a，b 中的最小值.若函数 f(x)=min{|x|， |x+t|}的图象关于直线 x=-2对称，则 t 的值为( A.10 B.11 C.12
1 1
)
D.15
1 1
解：由图象关于直线 x=-2对称，得|-2|=|-2+t|，解得 t=0，或 t=1. 当 t=0 时，f(x)=|x|，不符合题意，故 t=1.选 D. 变式练习： 4.若函数 y=f(x+2)-2 为奇函数，且函数 y=f(x)的图象关于点 M（a，b）对称，则 a+b=（ ） A.2 B.4 C.8 D. 16 x -x 5.若函数 f(x)=ka -a (a>0，且 a≠1)在(-∞，+∞)上既是奇函数又是减函数，则 g(x)=loga(x+k)的图象是（ ）
3
1
1 2 已知数列{an}中，a1＝t(t＞0)，a2＝t ．当 x＝ t时，函数 f(x)＝ (an1－ 3
an)x －(an－an+1)x，(n≥2)取得极值． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式． 分析：首先利用导函数，结合 f( t)＝0，确定数列{an}的递推关系，然后利用解 决递推数列的方法求{an}的通项公式. 解：f(x)＝ (an1－an)x －(an－an+1)，则 f( t)＝(an1－an)t－(an－an+1)=0,得 an+1 2 －an＝t(an－an1), (n≥2)，所以{an+1－an}是首项为 t －t，公比为 t 的等比数列， 2 n 1 n+1 n 当 t≠1 时，an+1－an＝(t －t)t ＝t －t ， 2 而 a2－a1＝t －t， 3 2 a3－a2＝t －t ， 4 3 a4－a3＝t －t ，
x f′(x) (-∞，ln2) 单调递减 ↘ ln2 0 2(1 f(x) -ln 2+a ) 单调递增 ↗ (ln2，+∞) +
故 f(x)的单调递减区间是(-∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，+∞)， f(x)在 x=ln2 处取得极小值，极小值为 f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a). （2）设 g(x)=ex-x2+2ax-1，x∈R，于是 g′(x)=ex-2x+2a，x∈R. 由（1）知当 a>ln2-1 时，g′(x)最小值为 g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0. 于是对任意 x∈R，都有 g′(x)>0，所以 g(x)在 R 内单调递增. 于是当 a>ln2-1 时，对任意 x∈(0，+∞)，都有 g(x)>g(0). 而 g(0)=0，从而对任意 x∈(0，+∞)，g(x)>0. 即 ex-x2+2ax-1>0，故 ex>x2-2ax+1. 变式练习： 7.对于在 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足(x+1)f＇(x)≥0 ，则必有（ ） A.f(0)+f(-2)<2f(-1) B.f(0)+f(-2)≤2f(-1) C.f(0)+f(-2)>2f(-1) D.f(0)+f(-2)≥2f(-1) 3 2 8.已知函数 f(x)=x -bx +2cx 的导函数的图象关于直线 x=2 对称. （1）求 b 的值； （2）若函数 f(x)无极值，求 c 的取值范围； （3）若 f(x)在 x=t 处取得极小值，记此极小值为 g(t)，求 g(t)的定义域和值域. 考点 6.定积分的计算与应用 例 6.(2010·山东)由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形的面积为（ ） A.
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x1>
a 3
时，x 2 的取值范围是
1
x
.
考点 5.导数的应用 例 5.(2010·安徽)设 a 为实数，函数 f(x)=ex-2x+2a，x∈R. （1）求 f(x)的单调区间及极值； （2）求证：当 a>ln2-1 且 x>0 时，ex>x2-2ax+1. 解： （1）由 f(x)=ex-2x+2a，x∈R，知 f′(x)=ex-2，x∈R. 令 f′(x)=0，得 x=ln2. 于是当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
π
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2
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… n n 1 an－an1＝t －t ， n n 各式相加，得 an－a1＝t －t，而 a1＝t，所以 an＝t ． n 当 t＝1 时，适合上式，故 an＝t (t＞0)． 3.应用性问题 例 3.家电下乡政策是应对金融危机， 积极扩大内需的重要举措.某家电制造集团为 尽快现实家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完 成预期运输任务 Q0，各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如下图所示，在这四 种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（ ） Q Q Q Q Q0 Q0 Q0 Q0
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的大小关系是（ ） A.f(-0.5)＜f(0)＜f(-1) C.f(0)＜f(-0.5)＜f(-1) B.f(-1)＜f(-0.5)＜f(0) D.f(-1)＜f(0)＜f(-0.5)
2m −1 m+1
3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，若 f(x)=-f(3-x)，f(1)≥1，f(2)= y=-m2 -2m+2的最小值为（ A.-1 B. 0
.
解：如图，设 AD=x(0<x<1)，则 DE=AD=x，所以梯形的周长为 x+2(1-x)+1=3-x，又
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S△ADE= 4 x2，所以梯形的面积为 4 - 4 x2，所以 s=
3x −1 (x −3) (1−x 2 )2 1 1 3 3 3 3 4 3 3
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课题 年级 函数与导数 高二 学生姓名 教师姓名 陈香君 雷波 日期 学生评价
教学 内容 教学 目标 教学 重难 点
函数与导数及导数的应用
掌握导数求导及求函数的极值和增减区间
函数的极值和增减区间的求法
1.与向量交汇
教 学 步 骤
例 1.已知向量a=(x2，x+1) ，b=(1-x，t) ，若函数 f(x)=a·b 在区间(-1，1)上 是增函数，求 t 的取值范围. 分析：根据已知条件先确定函数 f(x)的解析式，再利用导数与函数的单调性之间 的关系进行求解。 解： 因为 f(x)=a· b=(x 2 ， x+1) · (1-x， t)=-x3+x2+tx+t ， 所以 f′(x)=-3x2+2x+t 。 若函数 f(x)在(-1，1)上是增函数，则当 x∈(-1，1)时，-3x2+2x+t≥0 ， 得 t≥3x2-2x 在区间(-1，1)上恒成立。 又 g(x)=3x2-2x 是对称轴为 x=3 ，且开口方向向上的抛物线， 故要使 t≥3x2-2x 在区间(-1，1)上恒成立，则需 t≥g(-1) ，即 t≥5. 故所求的 t 的取值范围是[5，+∞). 2.导数与数列的综合 例2
x>0
log1 (−x) ，x < 0
，若 f(a)>f(-a)，则实数 a 的取
B.(-∞，-1)∪(1，+∞)
C.(-1，0)∪(1，+∞)
D.(-
a<0 a>0 或 log1 (−a) > − log2 (−a)，解得 a>1，或-1<a<0. log2 a > − log2 a 2
） A.(-2，3] B.(-2，+∞) C.(-3，2] D.[2，+∞) 考点 2.函数的基本性质 例 2.(2010·安徽)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)=1，f(2)=2，则 f(3)-f(4)=（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2 解：由于函数 f(x)的周期为 5，所以 f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1)，又 f(x)为 R 上的奇 函数，所以 f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1.故选 A. 变式练习： 2.已知函数 f(x)是偶函数， 且在区间[0， 1]上是减函数， 则 f(-0.5)、 f(-1)、 f(0)
1 e
解：设曲线在点 P 处的切线斜率为 k，横坐标为 x0,则 k=y′=(e x +1)2 = 因为 ex>0，所以由均值不等式，可得 k≥
−4
1 e
.
=-1.
2 e x + x +2
又 k<0，所以-1≤k<0，即-1≤tanα <0,所以 ≤α <π .故选 C.
4
3π
变式练习： 6.已知函数 f(x)=a x3-x(a>0)在点(x1，f(x1))处的切线在 x 轴上的截距为 x2，则当
1 12
B.
1 4
C.
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变式练习： 9.两条曲线 y= x与 y=x2 所围成的封闭图形的面积等于 . 考点 7.应用导数解决实际问题 例 7.（2010·江苏）将边长为 1m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪 成两块，其中一块是梯形，记 s=
(梯形的周长)2 梯形的面积
，则 s 的最小值是
×
x 2 −6x+9 1−x 2
(0<x<1)，所以 s′=
−8 3 3
×
，令 s′=0，得 x= ，或 x=3（舍去） ，当 x∈(0， )时，s′<0，s 单调递减；
3 1 32 3 3
1
当 x∈(3，1)时，s′>0，s 单调递增.故当 x=3时，s 取得最小值，最小值为 A D E
.
B C 变式练习： 10.华宇中学教学楼的直角走廊示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为 2m. C B θ 2m P A 2m （1）过点 P 的一条直线与走廊的外侧两边交于 A，B 两点，且与走廊的一边的夹角 为θ (0＜θ ＜2 ).将线段 AB 的长度 l 表示为θ 的函数； （2）一根长度为 5m 的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说 明理由（铁棒的粗细忽略不计）.
考点 4.导数的概念及其运算 例 4.（2010·辽宁）已知点 P 在曲线 y=e x +1上，α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜 角，则α 的取值范围是（ A.[0, )
4 π π 4 π 2 4
源自文库
）
π 2 3π 4
B.[ ， ） C.（ ,
]
D.[
3π 4
, π）
−4e x −4 e x + x +2
O
T
t
O
T
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O
T
t
O
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t
A. B. C. D. 分析：由题意可知，运输效率越来越高，只需曲线上点的切线的斜率越来越大即 可，观察图形可知，选项 B 满足条件，故选 B. 四、考题与变式 考点 1.函数基本关系问题 例 1.(2010·天津)设函数 f(x)= 值范围是（ ） A.(-1，0)∪(0，1) ∞，-1)∪(0，1) 解：由题意可得 故选 C. 变式练习： 1.已知 f(x)= 范围是（ 且方程 f(x)=x 恰有两个实根，则实数 a 的取值 f x−1 ， x> 0 ， a + 2−x ， x ≤ 0 ， log 2 x ，
1
，则
） C.
1 2
D.
3 4
考点 3.函数图象及图象变换问题 例 3.(2010·湖南)用 min{a，b}表示两数 a，b 中的最小值.若函数 f(x)=min{|x|， |x+t|}的图象关于直线 x=-2对称，则 t 的值为( A.10 B.11 C.12
1 1
)
D.15
1 1
解：由图象关于直线 x=-2对称，得|-2|=|-2+t|，解得 t=0，或 t=1. 当 t=0 时，f(x)=|x|，不符合题意，故 t=1.选 D. 变式练习： 4.若函数 y=f(x+2)-2 为奇函数，且函数 y=f(x)的图象关于点 M（a，b）对称，则 a+b=（ ） A.2 B.4 C.8 D. 16 x -x 5.若函数 f(x)=ka -a (a>0，且 a≠1)在(-∞，+∞)上既是奇函数又是减函数，则 g(x)=loga(x+k)的图象是（ ）
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1 2 已知数列{an}中，a1＝t(t＞0)，a2＝t ．当 x＝ t时，函数 f(x)＝ (an1－ 3
an)x －(an－an+1)x，(n≥2)取得极值． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式． 分析：首先利用导函数，结合 f( t)＝0，确定数列{an}的递推关系，然后利用解 决递推数列的方法求{an}的通项公式. 解：f(x)＝ (an1－an)x －(an－an+1)，则 f( t)＝(an1－an)t－(an－an+1)=0,得 an+1 2 －an＝t(an－an1), (n≥2)，所以{an+1－an}是首项为 t －t，公比为 t 的等比数列， 2 n 1 n+1 n 当 t≠1 时，an+1－an＝(t －t)t ＝t －t ， 2 而 a2－a1＝t －t， 3 2 a3－a2＝t －t ， 4 3 a4－a3＝t －t ，
x f′(x) (-∞，ln2) 单调递减 ↘ ln2 0 2(1 f(x) -ln 2+a ) 单调递增 ↗ (ln2，+∞) +
故 f(x)的单调递减区间是(-∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，+∞)， f(x)在 x=ln2 处取得极小值，极小值为 f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a). （2）设 g(x)=ex-x2+2ax-1，x∈R，于是 g′(x)=ex-2x+2a，x∈R. 由（1）知当 a>ln2-1 时，g′(x)最小值为 g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0. 于是对任意 x∈R，都有 g′(x)>0，所以 g(x)在 R 内单调递增. 于是当 a>ln2-1 时，对任意 x∈(0，+∞)，都有 g(x)>g(0). 而 g(0)=0，从而对任意 x∈(0，+∞)，g(x)>0. 即 ex-x2+2ax-1>0，故 ex>x2-2ax+1. 变式练习： 7.对于在 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足(x+1)f＇(x)≥0 ，则必有（ ） A.f(0)+f(-2)<2f(-1) B.f(0)+f(-2)≤2f(-1) C.f(0)+f(-2)>2f(-1) D.f(0)+f(-2)≥2f(-1) 3 2 8.已知函数 f(x)=x -bx +2cx 的导函数的图象关于直线 x=2 对称. （1）求 b 的值； （2）若函数 f(x)无极值，求 c 的取值范围； （3）若 f(x)在 x=t 处取得极小值，记此极小值为 g(t)，求 g(t)的定义域和值域. 考点 6.定积分的计算与应用 例 6.(2010·山东)由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形的面积为（ ） A.
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x1>
a 3
时，x 2 的取值范围是
1
x
.
考点 5.导数的应用 例 5.(2010·安徽)设 a 为实数，函数 f(x)=ex-2x+2a，x∈R. （1）求 f(x)的单调区间及极值； （2）求证：当 a>ln2-1 且 x>0 时，ex>x2-2ax+1. 解： （1）由 f(x)=ex-2x+2a，x∈R，知 f′(x)=ex-2，x∈R. 令 f′(x)=0，得 x=ln2. 于是当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
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… n n 1 an－an1＝t －t ， n n 各式相加，得 an－a1＝t －t，而 a1＝t，所以 an＝t ． n 当 t＝1 时，适合上式，故 an＝t (t＞0)． 3.应用性问题 例 3.家电下乡政策是应对金融危机， 积极扩大内需的重要举措.某家电制造集团为 尽快现实家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完 成预期运输任务 Q0，各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如下图所示，在这四 种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（ ） Q Q Q Q Q0 Q0 Q0 Q0
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的大小关系是（ ） A.f(-0.5)＜f(0)＜f(-1) C.f(0)＜f(-0.5)＜f(-1) B.f(-1)＜f(-0.5)＜f(0) D.f(-1)＜f(0)＜f(-0.5)
2m −1 m+1
3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，若 f(x)=-f(3-x)，f(1)≥1，f(2)= y=-m2 -2m+2的最小值为（ A.-1 B. 0
.
解：如图，设 AD=x(0<x<1)，则 DE=AD=x，所以梯形的周长为 x+2(1-x)+1=3-x，又
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S△ADE= 4 x2，所以梯形的面积为 4 - 4 x2，所以 s=
3x −1 (x −3) (1−x 2 )2 1 1 3 3 3 3 4 3 3
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课题 年级 函数与导数 高二 学生姓名 教师姓名 陈香君 雷波 日期 学生评价
教学 内容 教学 目标 教学 重难 点
函数与导数及导数的应用
掌握导数求导及求函数的极值和增减区间
函数的极值和增减区间的求法
1.与向量交汇
教 学 步 骤
例 1.已知向量a=(x2，x+1) ，b=(1-x，t) ，若函数 f(x)=a·b 在区间(-1，1)上 是增函数，求 t 的取值范围. 分析：根据已知条件先确定函数 f(x)的解析式，再利用导数与函数的单调性之间 的关系进行求解。 解： 因为 f(x)=a· b=(x 2 ， x+1) · (1-x， t)=-x3+x2+tx+t ， 所以 f′(x)=-3x2+2x+t 。 若函数 f(x)在(-1，1)上是增函数，则当 x∈(-1，1)时，-3x2+2x+t≥0 ， 得 t≥3x2-2x 在区间(-1，1)上恒成立。 又 g(x)=3x2-2x 是对称轴为 x=3 ，且开口方向向上的抛物线， 故要使 t≥3x2-2x 在区间(-1，1)上恒成立，则需 t≥g(-1) ，即 t≥5. 故所求的 t 的取值范围是[5，+∞). 2.导数与数列的综合 例2