线性代数方阵的行列式

§1 n阶行列式的定义
➢ 公式 若排列i1 i2… in中, it之后有kt个数比it小
(t=1,2,…,n-1),则(i1 i2… in)=k1+k2+…+ kn-1.
➢ 例 (53421)= 4 2 2 1 9 (52431)= 4 1 2 1 8
➢ 定义 逆序数为奇数的排列称为奇排列； 逆序数为偶数的排列称为偶排列；
§1 n阶行列式的定义
➢证
右边.
§2 n阶行列式的性质
➢ 性质2.2 设A为方阵，则AT=A ➢ 证 设A (aij ), AT (a~ij ), 则a~ij a ji
AT
(1) ( j1 j2 jn ) a~1 j1a~2 j2 a~njn
j1 j2 jn
(1) (
j1 j2
a a jn ) j11 j2 2
2
➢ 例 n级排列n(n-1) …21是奇排列还是偶排列？ ➢ 解 (n(n-1) …21)=(n-1)+(n-2)+…+1 n(n 1)
2
所以当n=4k或n=4k+1时，n(n-1) …21是偶排列； 当n=4k+2或n=4k+3时，n(n-1) …21是奇排列. (上述n为正整数，k为整数)
ajnn
A
j1 j2 jn
性质2表明，行列式对行成立的性质，对列也
成立.
§1 n阶行列式的定义
➢ 2. n阶行列式的定义 ➢ 我们已学过二阶行列式与三阶行列式
➢ 二阶行列式 a11
a21
a12 a22
a11a22
a12a21
一种 算式
行列式 的值
➢ 例 1 1 1 3 (1) 2 5
23
§1 n阶行列式的定义
➢ 三阶行列式
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13
a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
123
➢例 2 3 1 132 213321
3 1 2 3 3 3 2 2 2 111 18 ➢ 下面我们来观察三阶行列式的值的特点
§1 n阶行列式的定义
➢ 例 (53421)=9, ∴53421为奇排列； 改变了排列 (52431)=8, ∴52431为偶排列。 的奇偶性
作一次对换
§1 n阶行列式的定义
➢ 定义 将一个排列的两个元素对调，而其余元素 不动，这种构成一个新排列的变换称为对换. ➢ 定理1.1 一次对换必改变排列的奇偶性.
(证略) ➢ 例1 设3x452y是一个6级奇排列，求x,y. ➢ 解 (314526)=2+0+1+1+0=4, ➢ ∴ 314526是偶排列，364521是奇排列， ➢ ∴ x=6, y=1. ➢ 推论 所有n级排列中奇偶排列各占一半，都是n! 个.
➢ 2. 当n>3时，不宜用“对角线法则”计算行列式 的值
§1 n阶行列式的定义
➢ 3.一阶行列式 a11= a11, ➢ 例 一阶行列式 -2=-2，(这不是绝对值) ➢ 4.行列式的值也可定义为
§1 n阶行列式的定义
➢ 例2 证明
➢ 证 当i>j时，aij=0, 则j1=1， j2=2，…，
jn=n，即可能不等于零的均布项只有a11a22 …ann，
又(12 …n)=0,即此项的符号为正号，
所 以D= a11a22 …ann
§1 n阶行列式的定义
➢ 仿例2 证明可知
§1 n阶行列式的定义
➢ 例4
A11 A21
0 A22 A11 A22
其中A11,A22, 为方阵.
例
1200
2 3 0 0 1 21 1
➢ 作业：习题2.1(A) 第1(1), 3, 5题
§2 n阶行列式的性质
➢ 本节教学内容 ➢ 1. 行列式的性质 ➢ 2.方阵行列式的性质
§2 n阶行列式的性质
➢ 1.行列式的性质 为了方便行列式的计算，我们来讨论 行列式
的性质.
§2 n阶行列式的性质
➢ 性质2.1 行列式具有分行可加性，即
3
4
1
12
32
4 (3 4) (4 2) 2
4524
ห้องสมุดไป่ตู้
§1 n阶行列式的定义
➢ 更一般的有
A11 0 A21 A22
As1 As2
0
0
A11
A22
Ass
Ass
其中A11 , A22 , Ass为方阵.
§1 n阶行列式的定义
本节学习要求 理解逆序数、奇排列与偶排列概念，会求一 个排列的逆序数，会判断一个排列的奇偶性； 理解行列式的概念，会判断某一个均布项的符 号，熟悉上(下)三角形方阵、对角方阵的行列式 的值。
第二章 方阵的行列式
➢ 本章教学内容 ➢ §1 n阶行列式的定义 ➢ §2 方阵行列式的性质 ➢ §3 展开定理与行列式的计算
§1 n阶行列式的定义
➢ 1.排列与逆序数 ➢ 定义 由1,2,…,n按任何一种次序排成的有序数 组i1 i2… in称为一个n级排列，简称排列. ➢ 例 3级排列：123,132,213,231,312,321,共6个 ➢ 性质 不同的n级排列共n!个. ➢ 排列123，从小到大排，全顺； ➢ 排列132，3>2,但3排在2之前，即32是一个逆序 ➢ 定义 在一个排列i1 i2… in中,若it> is中,但it排在 is之前，则称it与is组成一个逆序.i1 i2… in中所有逆 序的总数称为此排列的逆序数, 记为(i1 i2… in).
表示对所有不同的3级排列求和
§1 n阶行列式的定义
➢ 仿三阶行列式，可定义n阶行列式 ➢ 定义1.1 n阶方阵A=(aij)的行列式记为A或detA.
表示对所有不同的n级排列求和
符号因子
均布项
也称为n阶行列式. ➢ 注1. 均布项共有n!个，一半取正号,
来自不同行 不同列的n 个元素的积
一半取负号；
➢ 三阶行列式
1.右边每项都是三个元素的乘积，这三个元素位于 行列式的不同行、不同列，除正负号外均可写成
的形式，第一个下标(行标)排成标准排列123，第 二个下标(列标)排成一个3级排列j1j2j3，3级排列共 有3!=6个，故右边共有6项。
§1 n阶行列式的定义
➢ 三阶行列式
2. 带正号的三项，列标排成排列123, 231, 321, 均 是偶排列；带负号的三项，列标排成排列321, 213, 132, 均是奇排列，因此三阶行列式的值可写为