ds2-4山东建筑大学线性代数课件

(5) 分块对角矩阵的相关运算：
设 A 为 n 阶矩阵, 若 A 的分块矩阵只有在主对角线上有非 零子块, 其余子块都是零矩阵, 且非零子块都是方阵, 即
A1
0
A
A2
0
As
其中 Ai (i 1,2,, s) 都是方阵, 那么称 A为分块对角矩阵. 18
分块对角矩阵的行列式具有下述性质: A A1 A2 As .
AB
C11
C1r
,
C
s1
C sr
t
其中 Cij Aik Bkj k 1
i 1,, s; j 1,, r .
15
1 0 0 0 1 0 1 0
例15
设
A
0
1 1
1 2 1
0 1 0
0 0 1
,
B
1 1 1
2 0 1
0 4 2
1 1 0
.
求 AB.
1 0 0 0
解
A
若第 i 行记作 αTi ai1, ai2, ,ain , 则矩阵 A 便记为
α
T 1
A
α
T 2
.
α
T m
按列分块: m n 矩阵 A 有 n 列, 称为矩阵 A 的 n 个列向量.
a1 j
若第 j 列记作
aj
a2 j
,
则 A (a1 , a2 , , an )
amj
25
a0 PEP 1 a1PP 1 a2 P2 P 1 am Pm P 1
Pa0 EP 1 Pa1P 1 Pa22 P 1 Pam m P 1
P a0 E a1 a22 am m P 1 Pf P 1.
7
例12 设方阵A，B满足 A2 A 2B O, 且B可逆，证明A可逆.
C12 C 22
,
OB
A O
C11 C 21
C12 C 22
AC 21 BC11
AC 22 BC12
En O
O Es
AC 21 En , BC12 E s , AC22 O, BC11 O,
C21 A1, C12 B1 , C22 O, C11 O,
O B
A O
1
C
O A1
B 1 O
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
对线性方程组
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
记
A
aij
,
mn
x1
x
x2
xn
,
b1
b
b2
bm
,
a11
B
a21
am1
a12 a22
0 22 ,
，n
1 0
0 2n
An 11
42
1 0
0 2n
1 2
4 1
12
1 2
11
2n1 2n2
4 1
2 1
2 2n 2 2n1
22nn111.
5
设 m 次多项式为 f x a0 a1 x a2 x am xm , 记 f A a0 E a1 A a2 A2 am Am ,
a31 a32 a33 a34
11
a11 a12 a13 a14
(3) a21 a22 a23 a24 .
a31
a32
a33
a34
分法(1)可记为
A
A11 A21
A12 A22
,
其中
A11
a11 a21
a12 a22
,
A12
a13 a23
a14 a24
A21 a31 a32 ,
分析 A2 A 2B O A C C 0
证 A2 A 2B O A2 A 2B AA E 2B
A A E 2B 0
A 0
8
例13 设方阵A满足 A2 A 2E O ,证明 A 及 A 2E
都可逆并求 A1 及A 2E 1.
分析
A2 A 2E O
f (A) 称为方阵 A 的 m 次多项式.
(1)设
1
0
0
2 ,
证明:
k
1k
0
0
2k
,
f
f
1
0
0
f 2 ,
(2) 设 A PP 1，证明：Ak Pk P 1, f A Pf P 1.
证 (1) 用数学归纳法。当 k = 1时，显然等式成立。
假设等式对于 k -1 成立，即
k 1
k1 1 0
0
从而可知, 若 Ai 0 i 1,2,, s, 则 A 0，并且
分块对角矩阵的逆阵
A11
A1
0
A21
0
As1
19
5 0 0
例16
设
A
0
3
1,
求 A1.
0 2 1
解
5 A 0
0
0 3 2
0 1 1
A1 O
O A2
,
A1 5,
A11
1 5
;
A2
3 2
11,
3 A2 2
.
22
推论: 对于 n 阶矩阵
A
O
As
A1
A2
O
若 Ai 0i 1,, s, 则 A 0, 并有
O
A 1
A21
A11
As1
.
O
23
设三角形块矩阵
A
B 0
CD，其中 B 为 m m 可逆矩阵，
C 为 n n 可逆矩阵， D 为 m n 矩阵。则：
A1
B 0
D 1 C
1 1
01
2 1
4 1
,
1 2 4 1 3 3 A1 B22 1 1 2 0 3 1
1 0 1 0
于是
AB
1 2
2 4
0 3
13.
1 1 3 1
17
(4) 分块矩阵的转置：
设
A
A 11
A1r
,
A1T1 则 AT
AsT1 .
As1 Asr
A1Tr
AΒιβλιοθήκη BaiduTr
(ⅱ) A n A ;
(ⅲ) | AB | | A| | B | .
2
2.逆矩阵 对于 n 阶矩阵 A , 若有一个 n 阶矩阵 B , 使得
AB BA E,
则称 A 是可逆的，并称B 是A 的逆矩阵。 记作 A1 B.
关于逆矩阵的结论
定理 1 若矩阵 A 可逆，则 A 0.
定理 2 若 A 0,
A11
A1
1 2
52,
A2 1
A2
2 5
83,
1 2 0 0
A1
2
0 0
50 02 0 5
0 3 8
21
例18
设 n 阶方阵 A 及 s 阶方阵 B 都可逆,
求
O B
A O
1
.
解
设存在矩阵 C ,
使得
O B
OAC E,
C21 为 n 阶方阵, C12 为 s 阶方阵,
其中
C
C11 C 21
A
A11
A1r
,
As1
Asr
B
B11
B1r
.
Bs1
Bsr
那么
其中 Aij 与 Bij 的行数相同, 列数相同, i 1,2,, s, j 1,2,,r,
A
B
A11
B11
A1r
B1r
.
As1
Bs1
Asr
Bsr
13
(2) 分块矩阵的数乘：
设
A
A11
A1r
,
如果把系数矩阵 A 按行分成 m 块, 则线性方程组Ax = b 可记为
α1T
α
T 2
α
T m
x
b1 b2
bm
相当于把每个方程 ai1 x1 ai2 x2 ain xn bi
记作
αiT x bi i 1,2,, m
27
A22 a33 a34
即 A11, A12, A21, A22 为 A 的子块, 而 A 形式上称为以这些子块为元素
的分块矩阵,同理可写出(2), (3)的分块矩阵.
12
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似, 说明如下: (1) 分块矩阵的加法：
设矩阵 A 与 B 的行数列数都相同, 采用相同的分块法, 有
A E
A 2E
E
证 A2 A 2E O A2 A 2E AA E 2E
1 AA E E A1 1 A E
2
2
A2 A 2E O
A 2E A2
AA 2E 3A 2E 4E O
A 2E A2 0 AA 2E 3A 2E 4E
所以 A 2E 可逆，
1 1,
1
A2
1 2
31,
A21
1 A2
A2*
1 2
31,
1
∴
A1
5 0
0 0 1 1.
0 2 3
20
5 2 0 0
例17 求方阵 2 1 0 0 的逆矩阵.
0 0
0 0
8 5
23
解
A
5
2
0 0
2
A11
0 0
0 0
00
8A23
52
,
52
A1 2
1, 1
83
A2 5
1, 2
E Ak1 E
E A1 E A A2 Ak
10
§4 矩阵分块法
用分块法计算行数和列数较高的矩阵 A, 可使大矩阵的运算化 成小矩阵的运算. 将矩阵 A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,
每一个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块
矩阵.
a11 a12 a13 a14
B 1 0
B 1 C
DC
1
1
如果
A
B D
0 C
，则：
A1
B D
0 C
1
B 1 C 1DB1
0 C 1
特别地，当 D=0 时有
B 0
0 C
1
B 1 0
恰为对角块矩阵的情形。
0 C 1
24
对矩阵分块时, 有两种分块法应注意, 即按行分块和按列分块.
按行分块: m n 矩阵 A 有 m 行, 称为矩阵 A 的 m 个行向量.
1 4
A
3E
A
2E
E
( A 2E )1 ( A2 )1
A 2E1 1 A 3E
( A1 )2 1 A 3E
4
4
9
例14 设 Ak O (k为正整数)，证明
（作业）
E A 1 E A A2 Ak
证 E A E A A2 Ak
E A A2 Ak A A2 Ak Ak1
作业：
5.
设A
0
1
0 1 ,
2
求
Ak
.
k2
0
k 2
kk 1
2
k .
0 0
0
0
2
(1) 先猜测，再用归纳法证明。
(2)
A0
1
0
1 0
0
0 0 00
1 0
0
1 E B
0 0 0 0 0 0 0
Ak E Bk
k
k
C
r k
E
kr Br
C
r k
则矩阵 A 可逆，且
A1 1 A . A
推论 若 AB E（或 BA E），则B A1.
3
运算规律:
（i）若 A 可逆，则 A1 也可逆，且 A1 1 A.
（ii）若 A 可逆，数λ≠0，则
可A 逆，且
A1 1 A1.
（iii）若A, B为同阶矩阵且均可逆，则 AB 亦可逆，且
AB 1 B 1 A1.
0 1 1
1 2 1
0 1 0
0 E
0 1
A1
O E
1 0 1 0
B
1 1 1
2 0 1
0 4 2
1 10
B11 B21
E B22 .
16
则
AB
E A1
O E
B11 B21
E B22
B11 A1B11
B21
A1
E B22
而
A1 B11
B21
1 1
12
1 1
02
1 1
01
3 0
42
As1 Asr
为数, 则
A
A11
A1r
.
As1
Asr
14
(3) 分块矩阵的乘法： 设 A 为 m l 矩阵, B 为 l n 矩阵, 分块成
A
A11
A1t
,
B
B11
B1r
As1
Ast
Bt
1
Btr
其中 Ai1, Ai2 , Ait 的列数分别等于B1 j , B2 j ,Btj 的行数, 那么
am2
a1n a2n
amn
b1
b2
bm
.
其中 A 称为系数矩阵, x 称为未知量向量, b 称为常数项向量,
B 称为增广矩阵. 按分块矩阵的记法, 可记为
B = (A b), 或 B ( A,b) (a1, a2 ,, an ,b).
利用矩阵的乘法, 此方程可记为 Ax = b.
26
k1 2
,
∴ k
k1
k1 1 0
0
k1 2
1
0
0
2
1k
0
0
2k
6
f a0 E a1 a22 amm
a0 0
0 a0
a11
0
0
a12
a212
0
0
a22
2
am 1 m
0
0
am2
m
a0
a11
0
am
1m
a0
a12
0
am2m
f
1
0
0
f 2 .
(2) f A a0 E a1 A a2 A2 am Am ,
（iv）若 A 可逆，则 AT 亦可逆， AT 1 A1 T .
4
例11
设
P
1 1
42 ,
1 0
02 , AP P,求An .
解
P 2,
P 1
1 2
4 1
12
A PP 1 , A2 PP1PP1 P2 P 1 , An PnP1
又
1 0
02 ,
2
1 0
02
1 0
0 2
1 0
k
r
B
r
r0
r0
一般 Ak B s B s Ak 但 Ak E s E s Ak Ak
k E kk1B k(k 1) k2B2
2
1
复习
1.方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式 (各元素的位置不变),
称为方阵 A的行列式, 记 作 A 或 det A. 由 A 确定的 A 满足下列规律(设 A, B 为 n 阶方阵, 为数): (ⅰ) AT A
例如, 将34矩阵 A a21 a22 a23 a24
a
31
a32
a33
a
34
分块. 下面举出三种分块方法:
a11 a12 a13 a14 (1) a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a11 a12 a13 a14 (2) a21 a22 a23 a24