九年级数学上册圆 几何综合专题练习(解析版)

九年级数学上册圆 几何综合专题练习（解析版）

一、初三数学 圆易错题压轴题（难）

1．已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦BC=AO ，点D 为BC 的中点，

(1)如图，连接AC 、OD ，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD ；

(2)如图，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离：

(3)如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长．

【答案】（1）1502AOD α∠=︒-；（2）7AD =

3）33133122or 【解析】

【分析】

（1）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOC 等于30°，OA=OC 可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD 的值.

（2）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOB 等于30°，因为点D 为BC 的中点，则∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD 等于90°，根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD 、AD 的长.

（3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，求出AD 的长，再过O 点作AE 的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解.

【详解】

(1)如图1：连接OB 、OC.

∵BC=AO

∴OB=OC=BC

∴△OBC 是等边三角形

∴∠BOC=60°

∵点D 是BC 的中点

∴∠BOD=

1302

BOC ∠=︒ ∵OA=OC

∴OAC OCA ∠=∠=α

∴∠AOD=180°-α-α-30︒=150°-2α

(2)如图2：连接OB、OC、OD.

由（1）可得：△OBC是等边三角形，∠BOD=1

30 2

BOC

∠=︒

∵OB=2，

∴OD=OB∙cos30︒=3

∵B为AC的中点，

∴∠AOB=∠BOC=60°

∴∠AOD=90°

根据勾股定理得：AD=227

AO OD

+=

（3）①如图3.圆O与圆D相内切时：

连接OB、OC，过O点作OF⊥AE

∵BC是直径，D是BC的中点

∴以BC为直径的圆的圆心为D点

由（2）可得：3D的半径为1∴31

设AF=x 在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，

2222OA AF OD DF -=-

即()2222331x x -=-+- 解得：331x 4

+= ∴AE=3312AF +=

②如图4.圆O 与圆D 相外切时：

连接OB 、OC ，过O 点作OF ⊥AE

∵BC 是直径，D 是BC 的中点

∴以BC 为直径的圆的圆心为D 点

由（2）可得：3D 的半径为1

∴31

在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，

2222OA AF OD DF -=-

即()2222331x x -=-

解得：331x 4

-= ∴AE=3312AF -=

【点睛】

本题主要考查圆的相关知识：垂径定理，圆与圆相切的条件，关键是能灵活运用垂径定理和勾股定理相结合思考问题，另外需注意圆相切要分内切与外切两种情况.

2．如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD 的延长线交于点A，OE//BD，交BC于点F，交AB于点E.

（1）求证：∠E=∠C；

（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长；

（3）在（2）的条件下，求△ABC的面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）48 5

.

【解析】

试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；

（2）根据题意求出AB的长，然后根据平行线分线段定理，可求解；

（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.

试题解析：（1）如解图，连接OB，

∵CD为⊙O的直径，

∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，

∵AB是⊙O的切线，

∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，

∴∠ABD＝∠CBO.

∵OB、OC是⊙O的半径，

∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.

∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，

∴∠E＝∠C；

（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，

∴AO＝5，∴AB＝4.

∵BD∥OE，

∴＝，

∴＝，

∴BE＝6，AE=6+4=10

（3）S △AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得

S△ABC= S△AOE==

3．如图①，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，点D是AC边上一点（不与C 重合），以AD为直径作⊙O，过C作CE切⊙O于E，交AB于F．

（1）若⊙O半径为2，求线段CE的长；

（2）若AF＝BF，求⊙O的半径；

（3）如图②，若CE＝CB，点B关于AC的对称点为点G，试求G、E两点之间的距离．

【答案】（1）CE＝2；（2）⊙O的半径为3；（3）G、E两点之间的距离为9.6

【解析】

【分析】

（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得；

（2）由勾股定理求得BC，然后通过证得△OEC∽△BCA，得到OE OC

BC BA

=，即

8

610

r r

-

=

解得即可；