离散系统数学模型

sin(c t ) h(t ) F [ H ( j )] t
1
理想低通滤波器脉冲响应 不符合物理可实现系统的因果关系 （即系统响应不可能发生在输入信号作用之前）， 因而该滤波器是物理不可实现的。
零阶保持器(ZOH)
时域方程
xk (t ) x ( kT ) kT t ( k 1)T
第3章 计算机控制系统的数学描述
1 2 3 4
信号的采样与恢复 离散系统的时域描述——差分方程 Z变换 脉冲传递函数
采样系统与离散系统概念
计算机控制系统的典型原理图如图所示。
可简化为下图所示结构。这种系统结构为采样系统。
整个系统输入输出均为采样信号，系统可以看为离散时 间系统。 系统中的变量有数字信号，称数字控制系统。
f (k 2) 2 f (k 1) f (k )
n 阶向前差分-- 一阶向后差分--二阶向后差分--n 阶向后差分---
n f (k ) n1 f (k 1) n1 f (k )
f (k ) f (k ) f (k 1)
2 f (k ) [f (k )] f (k ) 2 f (k 1) f (k 2)
m
s
2

n 1
F * ( j )
s
2
1/T
( s m )
s
m ( s m ) 0 (s m ) m
(b)
s
(s m )

(b) m >s /2时频谱响应产生混叠
3.1.2 采样定理 采样定理（香农定理）
一个连续时间信号x(t)，设其频带宽度是有限的，其最高频率 为ωmax(或fmax)，如果在等间隔点上对该信号x(t)进行连续采样， 为了使采样后的离散信号x*(t)能包含原信号x(t)的全部信息量。 则采样角频率只有满足下面的关系： ωs≥2ωmax 采样后的离散信号x*(t)才能够无失真地复现x(t)。 采样定理规定了需要的最小采样是s>2max ，但考 虑到实际闭环系统稳定性以及其他设计因素的要求， 所需要的采样频率比理论最小值要高得多。
在计算机控制系统中，连续信号通常是 非周期性的，其频谱中的最高频率可能是无限的， 为了避免频率混淆问题，可以在采样前对连续信号 进行滤波，滤除其中频率高于 s 2 的分量， 使其成为具有有限频谱的连续信号。另外，对于实 际系统中的非周期的连续信号，其频率幅值随着采 样频率的增加会衰减得很小。因此，只要选择足够 高的采样频率，频率混淆现象的影响就会很小以至 于可以忽略不计，基本不影响控制性能。
c(k 2) a1c(k 1) a2c(k ) kr (k )
n f (k ) n1 f (k ) n1 f (k 1)
差分方程
差分方程是描述离散系统的方程
一连续系统用下述微分方程描述 2
d c(t ) d c (t ) a bc(t ) kr (t ) 2 dt dt
d c(t ) 2 c(t ) c(k 2) 2c(k 1) c(k ) 2 dt
3.1.1 采样过程数学描述及特性
采样----把连续信号变成数字信号的过程
τ----采样时间，采样所得的脉冲宽度
T----采样周期，采样开关相邻2次闭合之间的间隔时间，单位为s
fs=1/T---采样频率(Hz) 。 s＝2fs＝2/T---采样角频率 (rad/s)，简称采样频率 理想采样过程---若T>> τ ，近似认为采样瞬时完成，即认为τ 0。
2
微分用差分代替
离散系统的差分表示 dc(t ) c(t ) c(k 1) c(k ) dt [c(k 2) 2c(k 1) c(k )] a[c(k 1) c(k )] bc(k ) kr (k )
c(k 2) (a 2)c(k 1) (1 a b)c(k ) kr (k )
零阶保持器的幅频特性及相频特性
sin(T / 2) 2π sin( π / s ) Gh ( j ) T T / 2 s π / s
h ( )
π
s

sin( π / s ) π / s
---零阶保持器有无限多个 截止频率c＝ns(n＝1， 2，…)，在0s内，幅值 随增加而衰减。 ---零阶保持器允许采样信 号的高频分量通过，幅 值是逐渐衰减的。 ---零阶保持器是相位滞后 环节，相位滞后与信号 频率及采样周期T成正 比 T π , 0 T / 2 2 s h ( ) ( T ), T / 2 2 2
采样周期T的选择方法
常见被控对象采样周期参考 被控物理量 流量 压力 液面 温度 成份 采样周期T 1～5(s) 3～10(s) 6～8(s) 15～20(s) 15～20(s) 备注 优先选用1~2s 优先选用6~8s 优先选用7s 优先选用纯滞后时间 优先选用18s
位置
10～50(ms)
优先选用30ms
零阶保持器的频率特性
零阶保持器的实现
零阶保持器可以用无源网络来近似实现。如果将零阶保持 器传递函数中的 e Ts 展开成幂级数
e
Ts
1 1 Ts T 2 s 2 2!
取级数的前两项可得
1 e Gh s s
Ts
1 1 1 Ts s e
用RC无源网络近似零阶保持器
x (t ) x(t ) T (t ) x(t ) (t kT )
* k k
x(t ) (t kT )

x(t)在t <0时都为零，x(t) 仅在脉冲发生时刻有效，记为x(kT) 。
x (t ) x(kT ) (t kT )
* k 0

理想采样信号的频谱
1 X *( ) X j jks T k

当k＝0时，X*(j)＝X(j)/T---采样信号的基本频谱 正比于原连续信号x (t)的频谱，仅幅值相差1/T。 当k0时，派生出以s为周期的高频谐波分量---旁带 每隔1个s，重复原连续频谱x(j)/T 1次，
量化使信号产生误差并影响系统的特性。但当量化单位q很 小 (即数字量字长较长)时，信号的量化特性影响很小，在 系统的初步分析和设计中可不予考虑。
采样器、保持器和数字控制器的结构形式和控制规律 决定系统动态特性，是研究的主要对象。 控制系统的稳态控制精度由A/D、D/A转换器的分辨率 决定。 为了突出重点，只讨论影响系统动态特性的基本问题。 为了便于数学上分析和综合，在分析和设计计算机控 制系统时，常常假定A/D、D/A转换器的精度足够高， 使得量化误差可以忽略。
3.1.3 信号的恢复与重构
1 理想恢复过程
信号恢复： 时域上—由离散的采样值求出所对应的连续时间函数； 频域上—除去采样信号频谱的旁带，保留基频分量。 理想不失真恢复需要具备3个条件： (1) 原连续信号的频谱必须是有限带宽的频谱； (2) 采样必须满足采样定理； (3) 具有理想低通滤波器，对采样信号进行滤波。
可以用下图所示的RLC无源网络来实现。
3.2 离散系统的时域描述——差分方程
差分的定义 差分方程 线性差分方程的求解
差分的定义
连续函数f(t)，采样后为f(kT)，简写为 f(k)。 定义： f (k ) f (k 1) f (k ) 一阶向前差分--2 f (k ) f (k 1) f (k ) 二阶向前差分-- [ f (k 2) f (k 1)] [ f (k 1) f (k )]
数字 调节器
u (kT )
D/ A 转换器
u * (t )
u * (t )
保持器
u (t )
e(t )
e * (t )
e(kT )
u (kT )
u (t )
0000 1000 1011 1110 1111
0100 1001 1010 0110 0100
0
1 2
3 4 0 1 2 3 4
离散模拟信号
0
采样信号通过理想滤波器的恢复
理想低通滤波器
理想低通滤波器是指它对截止频率c以下的频率分量可 以不失真的进行传输，而对于高于截止频率c以上的频 率分量全部衰减为零。
理想低通滤波器
1 H ( j ) 0
c c
在t=0时输入一个脉冲信号，产生的脉冲响应为：

若连续信号的频谱带宽有限，最高频率为m，采样频率 s≥2m，则采样后派生出的高频频谱和基本频谱不会重叠， 如图 (b)所示。
连续信号频谱和采样信号频谱
若s<2m 时，采样信号各频谱分量互相交叠，产生 严重的频率混叠现象，如图 (b)所示。
F ( j )
1
m
n 1
0 (a）
输出不光滑； 带来时间滞后
(滞后T/2)。
零阶保持器的输入与输出
数学表达式
gh (t ) 1(t ) 1(t T )
零阶保持器的传递函数
Gh ( s ) L[ g h (t )] L[1(t ) 1(t T )]
sT 1 1 1 e e sT s s s
零阶保持器的频率特性
1 e jT e jT /2 (e jT /2 e jT /2 ) sin(T / 2) jT /2 Gh ( j ) T T e j T 2j / 2 T / 2
2π sin( π / s ) j( /s ) π e s π / s
理想采样信号的时域描述
1）理想采样开关的数学描述 用函数来描述 理想采样开关---其时域数学表达式为
T
k


(t kT )
(t kT )
---表示延迟kT时刻出现的脉冲，定时作用.
理想采样信号x*(t)可以看作是连续信号x(t) 被单位 脉冲序列串T调制的过程。
A/D和D/A变换中，最重要的是采样、量化和保持(或信号恢 复)3个变换过程。编码和解码仅是信号形式的改变，其变 换过程可看作无误差的等效变换，因此在系统的分析中可 以略去；
采样将连续时间信号变换为离散时间信号，保持将离散时 间信号又恢复成连续时间信号，这是涉及采样间隔中信号 有无的问题，影响系统的传递特性，因而是本质问题，在 系统的分析和设计中是必须要考虑的。
1 1 T 1 s 1 Ts 1 Ts
假如取级数的前3项，则
1 e Ts G h s s 1 1 1 1 2 2 s 1 Ts T s 2! Ts 1 2 T T 2s2 1 Ts 2
线性连续控制系统与线性离散控制系统的研究方法对照
线性连续控制系统 微分方程 拉普拉斯变换 传递函数 状态方程 线性离散控制系统 差分方程 Z变换 脉冲传递函数 离散状态方程
3.1 信号的采样与恢复
计算机控制系统是混合信号系统，具有多种信号形 式：
e(t )
采样
e * (t )
A/D 转换器
e(kT )
1 2
3 4
0
1 2
3 4
0 1 2 3 4
离散模拟信号0 1源自23 4t /T
模拟信号
数字信号
数字信号
模拟信号
A/D转换器通常包含下述三种形式的变换：
---模拟信号采样：按一定时间间隔对连续信号采样，将其 变成时间上是断续的离散信号； ---信号幅值的整量化：将采样信号幅值按有限字长的最小 量化单位分层取整，变成幅值为离散的信号； ---数字编码 ：将已整量化的分层信号变换为等值的二进制 数码信号，即数字信号。 D/A变换器通常包含有下述两种形式的变换： ---数字解码 ---信号恢复 化信号 。 把数字量转换为等值的模拟脉冲信号； 把解码后的模拟脉冲信号变为随时间连续变