金融工程讲义 第三讲 投资组合(portfolio)理论基础

第三讲 投资组合(portfolio)理论基础

一．单个资产的收益和风险 1．期望收益(expected return)

数学期望(mathematical expectation)的定义：

若离散型随机变量X 的可能值为),2,1( =i x i ，其概率分布为

{}i i p x X P ==， ,2,1=i

则当：

∞<∑∞

=i i i

p x

1

时，称X 的数学期望存在，并且其数学期望记作EX ，定义为：

i i i p x EX ∑∞

==1

对于风险资产而言，其未来的收益是一个随机变量。在不同的经济条件下，这个随机变量将取不同的值，而每一种经济条件的出现都有其概率。把资产收益的不同取值乘以不同经济条件出现的概率，就能够对该资产未来的收益做出估计。

用公式表示为：

i n

i i i i r p p p r E ∑

=---=1

1

1

)( 式中，i r 为该资产收益的第i 状态的取值；i p 为资产收益取值i r 的概率；)(r E 为该资产的期望收益。

例题：已知某种证券在市场状况较好的情况下的投资收益率为45%，在市场状况较差的情况下的投资收益率为-15%，又已知未来市场状况转好的可能性为60%，市场状况转坏的可能性为40%，则该证券的期望收益为多少？

%2121.006.027.0%)40%15(%60%45)r (E ==-=⨯-+⨯=

练习题：假设某种证券资产在A 情况下的收益率为35%，在B 情况下的投资收益率为15%，在C 情况下的投资收益率为-20%。A 、B 、C 三种情况发生的概率分别为20%，50%和30%，求这种证券资产的预期收益。

2．收益的方差(Variance)

方差(variance)和标准差(standard deviation)的定义：

设X 为一个随机变量(random variable)，其数学期望EX 存在，则称EX X -为X 的离差(deviation)，进一步，如果2)(EX X E -也存在，则称2

)(EX X E -为随机变量X 的方差，记作DX 或VarX ，并称DX 为X 的标准差。

在数学上，方差反映的是一个随机变量对于其数学期望的偏离程度。同时，由于我们把投资的风险定义为投资收益偏离预期收益的潜在可能性，因此我们可以用预期收益的方差来作为衡量风险的标准。

注：方差是数据组中各数据值与其算术平均数(arithmetic mean)离差平方的算术平均数，用符号“2

σ”(σ的读音为sigma)来表示。方差的平方根就是标准差，用符号“σ”来表示。在Excel 中可以用VAR 函数计算一组数据的方差。

用公式表示为：

21

2

))((r E r p i n

i i -=∑=σ

即：

∑=-=

n

i i

i

r E r p 1

2

))

((σ

方差或者标准差的数值越大就表示投资收益偏离预期收益的幅度越大，也就意味着投资的风险越大。

例题：已知某种证券在市场状况较好的情况下的投资收益率为45%，在市场情况较差的情况下的投资收益率为-15%，又已知未来市场状况转好的可能性为60%，市场状况转坏的可能性为40%，则该证券期望收益的方差和标准差为多少？

注：在Excel 中可以用SUMSQ 函数作平方（和）运算，也可以用POWER （幂）函数作平方运算，用SQRT 函数作求平方根运算。

题解：

2939

.00864.00864.021%)15%(%40%)21%45(%60222===--⨯+-⨯=σσ

练习题：假设某种证券资产在A 情况下的收益率为35%，在B 情况下的投资收益率为15%，

在C 情况下的投资收益率为-20%。A 、B 、C 三种情况发生的概率分别为20%，50%和30%，求这种证券资产预期收益的方差和标准差。

二．投资组合的风险与收益 1．投资组合的构成

资产组合就是由几种资产构成的组合。投资者可以按照各种比率（或者称为比重或权重）将其财富分散投资于各种资产上，假设投资者选择投在n 种资产上的比重为1w 、2w 、…、

n w ，则有如下限制条件：

11

21==+++∑=n

i i n w w w w

s. t. 0≥i w ,n i ,,2,1 =

其中：

n =投资组合所包括的资产种类的数量 i =某种特定的资产

i w =分配给第i 种资产的比重

例题：2005年9月12日至9月16日的一个交易周内，按成交量排名的前20位股票如下表

所列。假设A 投资组合是在自9月12日开盘至9月16日收盘的这段投资期间内由这20种股票的每种股票各100股所构成的一个投资组合，则问每一股股票在A 投资组合中所占的权重为多少？

名次

股票代码

股票简称

开盘价

收盘价

持有股数

1600050中国联通 2.67 2.691002600019G 宝 钢 4.45 4.461003600028中国石化 4.32 4.251004600005武钢股份 3.66 3.691005600036招商银行 6.86 6.851006600210G 紫 江 2.5 2.551007600015华夏银行 4.3 4.41008600688上海石化 3.8 3.91009600900G 长 电7.727.5310010600030G 中 信0 5.110011600177雅 戈 尔 3.93 3.8610012600247G 物 华 2.53 2.8110013600027华电国际 3.08 3.1710014600029南方航空 2.75 2.7910015600086*ST多 佳 1.6 1.7610016600816*ST安 信 2.69 3.0210017600851海欣股份 3.78 4.2710018600797浙大网新 3.73 3.8210019600642G 申 能 5.72 5.9910020

600747

大显股份

2.35

2.52

100

演示用Excel 计算每种股票的权重(weight)。

2．投资组合的收益

投资组合的收益率取决于两个因素：各种资产的类别；各种资产的投资比率。投资组合的期望收益率记作)(p R E ，其大小等于投资组合中各种资产的平均收益率与各自的投资比重的乘积之和，即：

)()(1

i n

i i p R E w R E ∑==

其中：

n =投资组合所包括的资产种类的数量

)(i R E =第i 种资产的期望收益率 i W =分配给第i 种资产的比重