中科院_2014_量子力学

和算符
，其中 为实常数。当
有共同本
征函数。
（1）求 的值；
（2）当
时，算符 和 的共同本征函数；
（3）当
时，求 表象到 表象的变换矩阵。
二、两个质量均为 的非全同粒子被禁闭在
的无限深势阱中。
（1）忽略两个粒子间的相互作用，求系统的三个最低能量及相应的归一化
波函数；
（2）假设粒子间的相互作用势为
微弱相互作用，求系统
）。
四、一个质量为 、电荷量为 的谐振子在外电场 的作用下的哈密顿量
为
（1）若己知
的本征能量为 ，相应的本征函数为 ，
求 的本征能量 及相应的本征函数 ；
（2）若
时刻系统处于 的初态 ，求
时刻系统状态仍处
在 的初态 的几率 。
五、三个电子做一维运动，相互之间的作用可以忽略。单粒子的能量本征值
为 ，相应的归一化波函数为
，
，
；
其中 为单粒子自旋 的第三分量 的本征态。
（1）求该全同体系的基态能量及相应的归一化本征函数；
（2）求系统总自旋 的第三分量
在基态的平均值。
科目名称：量子力学
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中国科学院大学
2014 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：量子力学
考生须知：
1. 本试卷满分 150 分，考试时间总计 180 分钟。
2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上一律无效。 一 、 若 已 知 在 某 表 象 下 算 符 Aˆ 和 算 符 Bˆ 的 矩 阵 表 示 分 别 为
的三个最低能量（ 的一级近似）及相应的归一化波函数。
三、一个质量为 、电荷量为 、自旋为 0 的粒子被限制在
平面内
半径为 的圆周上运动。
（1）求该粒子的哈密顿量 及自旋算符 的第三分量 的本征值及
相应的Βιβλιοθήκη Baidu一化本征函数；
（2）若在 方向上加一磁场 ，求系统的哈密顿量 的本征值及相应
的归一化本征函数，并讨论加入磁场后能级及简并度的变化（提示：取矢势