斜射影定理及其运用

“斜射影定理”及其运用

成都市石室初中（东区） 侯静

学习目标：

1、探究三角形中的边、角关系，寻找模型具备的条件，构建模型；

2、运用模型解答相关问题。 一、构建模型 射影定理：

1、在Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC ，求证：2AB BD BC =⋅.

若不是在直角三角形中结论还成立吗？

2、在△ABC 和△DBA 中，∠1=∠2，求证：2AB BD BC =⋅.

构建“ 定理”模型：

二、典例分析

例1 如图，在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC=4，AB=6，点D 为边AB 上一点，当∠ACD=∠ABC 时，求BD 的长.

例题改编 如图，以BD 的中点O 为圆心，BD 为直径作⊙O ，点C 在⊙O 上，且

AC 是⊙O 的切线.求证：2AC AD AB =⋅

.

三、变式练习

变式练习1 如图，在△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC ，则线段AC 的长为_________.

变式练习2 如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 交⊙O 于点D ，交BC 于点E ，2DB DE DA =⋅，求证： AD 平分∠BAC.

变式练习3 （2015年成都中考20题改编）如图，⊙O 是△BEF 的外接圆，∠EBF=90°，∠EBF 的平分线交EF 于点G ，交⊙O 于点H ，连接FH. 若BE=1

，BF =HG HB ⋅的值.

四、能力提升

（2016年成华区九年级上期末考试27题）如图，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，AC=4，AB=6，点D 为边AB 上一点，∠ACD ＜∠ABC ，在CD 上取点E ，使∠ABE=∠ACD ，若点E 恰好为CD 的中点，求BD 的长.

（备用图）

五、课后巩固

（2010年江苏扬州中考改编）如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．

（1）当AE＝2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论？

（2）若AE=kEF，请直接写出FG与EF之间满足的数量关系.