上海上海中学数学 二次函数单元测试卷(含答案解析)

上海上海中学数学

二次函数单元测试卷（含答案解析）

一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．已知，抛物线y＝-

1

2

x2 +bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点B、A．

（1）直接填写抛物线的解析式________；

（2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN.

求证：MN∥y轴；

（3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG •CH 为定值.

【答案】（1）2

1

2

2

y x x

=-++；（2）见详解；（3）见详解．

【解析】

【分析】

（1）把点C、D代入y＝-

1

2

x2 +bx+c求解即可；

（2）分别设PM、PC的解析式，由于PM、PC与抛物线的交点分别为：M、N.，分别求出M、N的代数式即可求解；

（3）先设G、H的坐标，列出QG、GH的解析式，得出与抛物线的交点D、E的横坐标，再列出直线AE的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证．【详解】

详解：（1）∵y＝-

1

2

x2 +bx+c过点C（0,2），点Q（2,2），

∴

2

1

222

2

2

b c

c

⎧

-⨯++

⎪

⎨

⎪=

⎩

＝

,

解得：12b c =⎧⎨=⎩

. ∴y=-12

x 2+x+2； （2） 设直线PM 的解析式为：y=mx ，直线PC 的解析式为：y=kx+2 由22122y kx y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩

得12

x 2+（k-1）x=0, 解得：120,22x x k ==-，

x p =22p x k =- 由21=22y mx y x x =⎧⎪⎨-++⎪⎩

得12

x 2+(m-1)x-2=0， ∴124b x x a

⋅=-=- 即x p•x m =-4，

∴x m =4p x -=21

k -. 由24y kx y x =+⎧⎨=+⎩

得x N =21

k -=x M , ∴MN ∥y 轴.

（3）设G （0，m ）,H （0，n ）.

设直线QG 的解析式为y kx m =+，

将点()2,2Q 代入y kx m =+

得22k m =+

22

m k -∴= ∴直线QG 的解析式为22m y x m -=

+ 同理可求直线QH 的解析式为22

n y x n -=+； 由222122m y x m y x x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩

得221=222

m x m x x -+-++ 解得：122,2x x m ==-

2D x m ∴=-

同理，2E x n =-

设直线AE 的解析式为：y=kx+4， 由24122y kx y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩

， 得12

x 2-(k-1)x+2=0 124b x x a

∴⋅=-

= 即x D x E =4， 即（m-2）•（n-2）=4

∴CG•CH=（2-m ）•（2-n ）=4.

2．已知函数2266()22()

x ax a x a y x ax a x a ⎧-+>=⎨-++≤⎩（a 为常数，此函数的图象为G ） （1）当a ＝1时，

①直接写出图象G 对应的函数表达式

②当y=-1时，求图象G 上对应的点的坐标

（2）当x >a 时，图象G 与坐标轴有两个交点，求a 的取值范围

（3）当图象G 上有三个点到x 轴的距离为1时，直接写出a 的取值范围

【答案】（1）①2266(1)22(1)

x x x y x x x ⎧-+>=⎨-++≤⎩，②(1,1),(31),(31)--+--；（2）

0a <或2635a <<；（3）315

a --<，1153a <<，113a <<-【解析】

【分析】

（1）①将1a =代入函数解析式中即可求出结论；

②分1x >和1x ≤两种情况，将y=-1分别代入求出x 的值即可；

（2）根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可； （3）先求出266y x ax a =-+的对称轴为直线6321a x a -=-

=⨯，顶点坐标为()

23,96a a a -+，222y x ax a =-++的对称轴为直线()221a x a =-=⨯-，顶点坐标为()2,2a a a +，然后根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可．

【详解】

（1）①1a =时，2266(1)22(1)x x x y x x x ⎧-+>=⎨-++≤⎩

②当1x >时，

2661x x -+=-

2670x x -+=

1233x x ==当1x ≤时，

2221x x -++=-

2230x x --=

121,3x x =-=（舍）

∴坐标为(1,1),(31),(31)----

（2）当0a <时

266()y x ax a x a =-+>与y 轴交点坐标(0,6)a ，266y x ax a =-+对称轴为直线6321

a x a -=-=⨯，过点(1,1) ∴x ＞a ＞3a ，此时图像G 与坐标轴有两个交点（与x 轴一个交点，与y 轴一个交点） 当0a ≥时，

266()y x ax a x a =-+>的图像与y 轴无交点

顶点坐标为()

23,96a a a -+