材料力学第二章 轴向拉伸与压缩

第二章 轴向拉伸与压缩
§2-1 轴向拉伸与压缩概念 §2-2 轴向拉压时横截面上的内力与应力 §2-3 直杆轴向拉压时斜截面上的应力
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
1、轴向拉压的受力特点： 外力的合力作用线与杆的轴线重合。
2、轴向拉压的变形特点：
轴向拉伸： 轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩： 轴向缩短，横向变粗。 3、力学模型


p
sin
s
cos
sin

1s
2
sin 2
s的正负号: 拉应力为正，压应力为负。 的正负号: 绕所保留的截面， 顺时针为正，
逆时针为负。
四、sα 、α出现最大的截面
1、=0º即横截面上，s达到最大
s s cos 2 s
0
2、=45º的斜截面上， 剪应力达最大
A
PA FN2
B
PB B
PB FN3
C
PC C
PC C
PC FN4
FN 2P
5P P
-3P
D PD
D PD
D PD D
PD
x
★轴力图的特点：
1）遇到集中力，轴力图发生突变； 2）突变值 = 集中载荷的大小
★轴力(图)的突变规律：
1）遇到向左的P， 轴力FN 向正方向突变;
自左向右: 2）遇到向右的P ， 轴力FN 向负方向突变；
FN
FN
FN>0
N 与外法线同向,为正轴力(拉力)-
--产生拉伸变形内力为正;
FN
FN
FN<0
N与外法线反向,为负轴力(压力)--
-产生压缩变形内力为负.
4、 轴力图—— FN (x) ~x 的图象表示
意 义 1）反映出轴力与 P
截面位置变化关系，
A
P
较直观； 2、确定出最大轴力的数值及
FN
P
其所在横截面的位置，即确定
BC
D
PA
PB
PC
PD
解： 求OA 段内力FN1，设置截面如图
Fx 0 FN1 PA PB PC PD 0
FN1 5P 8P 4P P 0
FN1 2P
O
同理，求得 AB、BC、 CD段内力分 别为：
FN2= –3P FN3= 5P FN4= P
轴力图如右图
L x
A
B
C
q
P
h
D
L x
A
B
C
q
P
YA
A XA
D
B
C
FN P
h
解： 1） BD杆内力N： 取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN

Px
hcosq
2） BD杆的最大应力： s max FN max PL A hAcosq
x kxdx 1 kx2
0
2
FN ( x)max


1 kL2 2
2
三、轴向拉压时横截面上的应力
1、问题提出： P
P
P
P
1）内力大小不能衡量构件强度的大小。
2）强度： ①内力在截面上分布集度应力； ②材料承受载荷的能力。
2、应力的概念
定义： 由外力引起的内力集度。单位面积上的内力。
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的 定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内 力集度最大处开始。
3）突变的数值等于集中力的大小；
5kN
8kN
3kN
FN 5KN
8kN
x
-3KN
训练1 作出下图杆件的轴力图
25KN
30KN
60KN 25KN
图1
1
40KN
2
3
30KN
20KN
1
2
3
图2
25KN
30KN
x
60KN 25KN
30KN
-30KN
1
40KN
-20KN
2
3
30KN
FN
20KN
1 FN 50KN
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
FN1 A
q
正应力的正负号规定：
sx
sx sx
sx
P
对变截面杆，当截面变化缓慢时，横截面上的 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重合；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效的合力代替原力系， 则这种代替对构件内应 力与应变的影响只限于 原力系作用区域附近很 小的范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸的1～1.5倍。
2
3
10KN
x
-20KN
[例3] 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出 杆的轴力图。
O x
O x
q(x)
L x q
FN
解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。
x位置上，用截面法，取左侧x 段 为对象，内力 FN(x) 为：
q(x)
FNx x
kL
–
kL2
FN ( x)
s
s
cos2

1s
2
max s
cos
sin

1s
2
工程上，有些材料的破坏是被拉断的，有些材料是被剪坏 的，依材料的性质不同而不同。
★结论：
在一点上，沿不同的方向应力的大小不一样，破坏发生在应 力较大的方向上。
例 直径为d =1 cm 杆受拉力P =10 kN的作用，试求 最大剪应力，并求与横截面夹角30°的斜截面上的正 应力和剪应力。
3、轴向拉（压）杆横截面上的应力
1）实验观察变形 加载前
ab cd
受载后 P
a´
b´
c´
d´
P
2）变形规律
A）ac→a′c′、bd→b′d′
原为平面的横截面在变形后仍为平面-----平面假设成立！
B）均匀材料、均匀变形，各纵向纤维相同变形。
3）静力关系 P
s
FN
s FN
A
x
公式说明
此公式对受压的情况也成立；
F
F
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
F
F
轴向压缩，对应的力称为压力。
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
一、内力
外力作用时，横截面发生变化即变形，构件内部产生附 加的相互作用力以抵抗这种变形。这种附加的力称为内力。
指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布 内力系的合成（附加内力）。
二、截面法 ·轴力·轴力图
x
危险截面位置，为强度计算提
供依据。
例1 求图示杆件1-1、2-2、3-3截面上的内力，并作出内力图
解： 1、求1-1截面上内力 FN1，设置截面如图
Fx 0
P
FN1 P 0
FN
Fx 0
P
FN 2 0
3、3-3截面上的内力 P
FN 3 P
s
0
P A
410000 3.14102
127.4MPa
maxs 0 /2127 .4/263.7MPa
s

s 0
2
(1c
os2
)127.4(1c 2
os60)95.5MPa


s 0
2
sin2
127.4sin6055.2MPa 2
例题 简易起重机构如图，AC 为刚性梁，吊车与吊起重物总 重为P， BD 杆的横截面积为A，求 BD 杆的最大应力。
内力与外力的大小有关，外力大，内力大，大至一定程 度，材料发生破坏。因此，内力的计算是分析构件强度、刚 度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。
1、 截面法求内力的基本步骤：
1）一截： 在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。
2）二取： 任取一部分，抛去另一部分。
3）三代： 4）四平：
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀的。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上的应力
一、斜截面上的内力
n
α
P
P
P 二、内力分布： 均匀分布
P
FN FN=P
Pa
FN
P

FN A

FN A
cos s cos
三、正应力、剪应力 s
P
α Pa

s p cos s cos 2
突变规律： 1、从左边开始，向左的力产生正的轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右的力产生正的轴力，轴力图向上突变。 3、突变的数值等于集中力的大小。
用内力代替抛掉部分对保留部分的作用，此时，内力成为保留 部分的外力。
保留部分在外力及内力共同作用下平衡，可建立平衡方程求 出内力各分量。
2、轴向拉压时的内力 ——轴力，用FN 表示。
例如： 截面法求N。
一截： P
A
P
二取： P
四平： Fx 0 P FN 0
FN 三代：
FN P
3. 轴力的正负规定: