集合与常用逻辑用语复习-课件

1．(2011·佛山市二模)
已知命题p：函数y＝sin
x
2
的图象关于
原点对称，q：幂函数恒过定点(1,1)，则
( B)
A．p∨q为假命题
B．( p)∨q为真命题
C．p∧( q)为真命题
D．( p)∧(q)为真命题
考点二 特(全)称命题的否定
【例2】 (2012·福州市检测) 命题“对任意的x∈R，x3－ x2＋1≤0”的否定是( )
故选 A.
答案：A
考点三 否命题与命题的否定的区分
【例3】 (1)写出复合命题“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”的 否命题与“非”命题(即命题的否定)，并判断真假．
(2)写出下列全称命题或特称命题的否定形式，并判断真假： ①至少存在一个四边形没有外接圆；
②关于x的不等式x2－ax＋2a2≥0恒成立． 思路点拨：“且”的否定形式为“或”，“都不”的否定 形式为“不都”，反之亦然．注意区分否命题和命题的否定形式 的不同．
全称命题的否定是____特__称____命题，特称命题的否定是 ___全__称___命题．
基础自测
1．(2012·肇庆市期末)命题“∃(x，y)，x，y∈R，2x＋3y＋3＜0”
的否定是
()
A．∃(x，y)，x，y∈R,2x＋3y＋3＜0
B．∃(x，y)，x，y∈R,2x＋3y＋3≥0
C．∀(x，y)，x∈R，y∈R,2x＋3y＋3≥0
含有存在量词的命题，叫做特称命题．
特称命题的形式为“存在一个x∈M，有p(x)成立”，记为 “∃x∈M，p(x)”．
3．含有一个量词的命题的否定．
全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定 p：∃x_0_∈__M_，____p_(；x0) 特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定 p：∀x_∈__M__，___p. (x)
解析：命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则 x≠1”，选项A错；“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必 要条件，选项B错；命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”的否 定是“∀x∈R均有x2＋x＋1≥0”，选项C错．故选D. 答案：D
考点四 复合命题真假判定的综合运用
【例4】已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q： “∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实 数a的取值范围．
答案：C
变式探究
2．(2012·东北三校联考)已知命题 p：∃x∈0，π2，sin x＝12，则
p 为
()
A．∀x∈0，π2，sin x≠12
B．∀x∈0，π2，sin x＝12
C．∃x∈0，π2，sin x≠12
D．∃x∈0，π2，sin
1 x>2
解析：根据特称命题的否定的概念可知，p 为：∀x∈0，π2，sin x≠12.
题，记作 p，可理解为不满足命题p.若p是真命题，则 p必 是假命题；若p是假命题，则 p必是真命题．记忆口诀为
“真假相对”．
复合命题及其否定形式见下表：
命题
否定形式
p或q
p且q
p且q
Biblioteka Baidu p或q
p
p
复合命题真假的判断(真值表)：
p q 非p p∨q p∧q 真真 假 真 真 真假 假 真 假 假真 真 真 假 假假 真 假 假
思路点拨：先由全称命题p和特称命题q分别确定a的取值范 围，再由“p且q”是真命题列出关于a的不等式，解不等式即得a 的取值范围.
解析：由“p且q”是真命题知，p为真命题，q也为真命题．
p为真命题时，a≤x2恒成立，∵x∈[1,2]，∴a≤1.
q为真命题时，x2＋2ax＋2－a＝0有实根，则Δ＝4a2－4(2－ a)≥0，即a≥1或a≤－2.
4.命题与集合的关系：命题的“且”、“或”、 “非”对
应集合的“交”、“并”、“补”．
5．命题与电路的关系：命题p∧q对应着“串联”电路，命
题p∨q对应着“并联”电路，命题 p对应着线路的“断开与闭
合”．
三、常见词语的否定
正面
等于 大于
词语
(＝)
(>)
否定
不等于 不大于
(≠)
(≤)
正面 词语
或
至多有 n个
()
A．( p)∨q
B．p∧q
C．( p)∧(q)
D．( p)∨(q)
思路点拨：先判定简单命题p，q的真假，再根据真值表确定 复合命题的真假．
解析：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而
上述叙述中只有(p)∨( q)为真命题，故选D.
答案：D 点评：会运用真值表判定复合命题的真假．
变式探究
课时升华
1．命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下， 逻辑联结词与集合的运算具有一致性，命题的“且”、“或”、 “非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”．因此， 可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定．(1) 集合中的交集是用“且”定义的，A∩B＝{x∈A且x∈B}；(2)集 合中的并集是用“或”定义的，A∪B＝{x∈A或x∈B}；(3)集合 中的补集与“非”密切相关，∁UA＝{x∈U且x∉A}．
4. (2012·北京市海淀区模拟)已知命题p：∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0. 若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________(_0_,1. )
考点探究
考点一 复合命题真假的判定
【例1】 (2012·南昌市模拟)已知命题p：所有有理数都是实 数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是
的否定形式是“( p)∨( q)”，“p∨q”的否定形式是 “( p)∧( q)”．(2)含量词的命题的否定规律是“改量词，否结
论”，即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论， 对于某些省略了量词的命题，可以在理解命题的基础上，添上量 词，再按规律写出命题的否定.
感悟高考
品味高考
1．(2012·辽宁卷)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－
B．命题：“存在x为实数，x2－x＞0”的否定是“任意x是 实 数，x2－x≤0”
C．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分不必要条件
D．若p且q为假命题，则p，q均为假命题
解析：观察知，选项D错误，因为p且q为假命题，有三种 可能：p，q均为假命题；p为真命题、q为假命题；p为假 命题、q为真命题．故选D. 答案：D
第一章 集合与常用逻辑用语
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词 与存在量词
考纲要求
1．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 2．理解全称量词与存在量词的意义． 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
课前自修
知识梳理
一、简单的逻辑联结词
常用的逻辑联结词：“且”、“或”、 “非”．不含逻辑 联结词的命题称为简单命题．
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0 C．存在x∈R，x3－x2＋1>0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0 思路点拨：(1)全称命题变为特称命题；(2)只对结论进行否 定． 解析：根据全称命题的否定是特称命题，得命题“对任意 的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，x3－x2＋ 1>0”．故选C.
2．“或”命题：用联结词“或”把命题p和命题q联结起 来，构成一个新命题，记作p∨q，可理解为命题p和命题q至少 满足其中一个．当p，q两个命题中有一个命题是真命题时， p∨q是真命题；当p，q都是假命题时，p∨q是假命题．记忆口 诀为“一真必真”．
3．“非”命题：对一个命题p全盘否定，构成一个新命
x1)≥0，则 p是
()
A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 解析：命题p为全称命题，所以其否定应是特称命题，又(f(x2)
C．[－1,2)
D．[－2,2)
解析：∵“p 或 q”为真，“p 且 q”为假，∴p，q 一真一 假．依题意 Δ＝(2a)2－16＜0，得－2＜a＜2，所以命题 p： －2＜a＜2.由 a＜x2－1 恒成立得 a＜－1，所以命题 q：a ＜－1.若 p 真 q 假，有－ a≥2＜ －a1＜ ，2， 得－1≤a＜2；若 p 假 q 真，有aa≤＜－－21或，a≥2， 得 a≥－2.故选 B. 答案：B
解析：(1)否命题：“若x≠1或y≠2，则x＋y≠3”．是假命 题．
“非”命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y≠3”．是假命题． (2)①该命题的否定形式为：没有一个四边形有外接圆．是 假命题． ②∃x，使关于x的不等式x2－ax＋2a2≥0不成立．是假命 题． 点评：掌握逻辑联结词和量词用法，区分否命题与命题的 否定形式是不同的．
－f(x1))(x2－x1)≥0的否定为(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0.故选C.
答案：C
2．(2012·福建卷)下列命题中，真命题是
A．∃x∈R，ex≤0
B．∀x∈R,2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是 a ＝－1 b
D．a>1，b>1是ab>1的充分条件
()
二、复合命题
由简单命题和逻辑联结词构成的命题称为复合命题．
1．“且”命题：用联结词“且”把命题p和命题q联结起 来，构成一个新命题，记作p∧q，可理解为命题p和命题q同时 满足．当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题 中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．记忆口诀为“一假 必假”．
3．(2012·黄冈中学模拟)命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的
一个充分不必要条件是
()
A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5
解析：因为∀x∈[1,2]，x2－a≤0是真命题，所以a≥(x2)max ＝4，因为{a|a≥5}⊇{a|a≥4}，所以“a≥5”是“∀x∈[1,2]， x2－a≤0为真命题”的充分不必要条件．故选C. 答案：C
含有全称量词的命题，叫做全称命题．
全称命题的形式为“对M中任意一个x，有p(x)成立”，记 为“∀x∈M，p(x)”．
2．存在量词：短语“_存__在__着___”、“___有_______”、 “__有__些____”、“__某__个____”、“至_少__一__个____”在逻辑中通常叫做 存在量词，用符号“∃________”表示．
小于 (<)
不小于 (≥)
任意 两个
是
都是
不是 不都是
所有的 任意的
至多有 一个
至少 有两个
至少有 一个
否定
且
至少有 n＋1个
某两个
某些
某个
一个也 没有
四、全称命题与全称量词、特称命题与存在量词
1．全称量词：短语“__全__部____”、“所_有__的_____”、 “_一__切_____”、“_任__何_____”、“任_意_______”、每“一__个______”在逻 辑中通常叫做全称量词，用符号“∀ ________”表示．
2．全称命题为真时，表示所限定的集合中的每个元素都具 有某种属性，因此能通过“举反例”来判断一个全称命题为假命 题；特称命题为真时，表示在限定的集合中有一些元素(至少一 个)具有某种属性，因此能通过“举特例”来确定一个特称命题 为真命题．
3．(1)含联结词“且”、“或”的命题的否定形式：“p∧q”
变式探究
3．(2012·广东金山中学综合测试)下列有关命题的说法正确的是 ()
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1” B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件 C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”的否定是：“∀x∈R均
有x2＋x＋1＜0” D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
D．∀(x，y)，x∈R，y∈R,2x＋3y＋3>0
解析：∃(x，y)的否定是∀(x，y)，2x＋3y＋3＜0的否定是 2x＋3y＋3≥0.故选C. 答案：C
2．(2012·河北五校联盟调研)下列结论错误的是
()
A．命题：“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”的逆否命题为：
“若
x≠2，则x2－3x＋2≠0”
综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．
变式探究
4．(2012·厦门市模拟改编)设有两个命题p：函数f(x)＝x2＋2ax ＋4的图象与x轴没有交点，q：a＜x2－1恒成立，若“p或q” 为真，“p且q为假”，则实数a的取值范围是 ()
A. (－∞，－2] (－1,2)
B.( －∞，－2]∪[－1,2)