二元一次不等式(组)所表示的平面区域

x y 5≥0

x

y≥
0
x ≤ 3
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x y 5≥0 x y ≥ 0 x ≤ 3
y
x+y=0
解：依次画出三个不
O
x
等式 x－y+5≥0, x-y+5=0
x+y≥0, x≤3所表示的
x=3
平面区域
所以,不等式组表示的区域如上图所示.
（1）2xxyy11≥00
则它们的交集就 是已知不等式组所 表示的区域。
y 2x-y+1=0 3
2
1
-1 O -1
x 12
x+y-1=0
2x 3y 2 0
（2） 2 y 1≥ 0
x 3≤ 0
解：（2）在同一个直角坐标系中，作出 直线2x－3y+2=0(虚线)，2y+1=0(实线)， x－3=0(实线)，
我们如何求二元一次不等式在直角坐 标平面上表示的区域呢？
直角坐标平面内直线l的一般形式的方
程为Ax+By+C=0，
①
根据直线方程的意义，凡在l上的点的 坐标都满足方程①，而不在直线l上的点 的坐标都不满足方程①。
直线l把坐标平面内不在l上的点分为两 部分，一部分在l的一侧，另一部分在l的 另一侧，我们用下面的例子来讨论在直 线的两侧点的坐标，所应满足的条件。
然后取交集，就 是不等式组所表示 的区域。
y 4x+y=10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
18x+15y=66
1
x
O 1 2 34
练习：
1. 画出下列不等式表示的平面区域：
（1）2x＋3y－6＞0 （2）2x＋5y≥10 （3）4x－3y≤12
y
2
x
O3
（1）
y
2
x
O
5
（2）
y
O3x
-4 （3）
2：画出下面不等式组所表示的平面区域
在直角坐标系xOy中，作直线l：x+y－ 1=0。
由直线的方程的意义可知，直线l上点 的坐标都满足l的方程，并且在直线l外的 点的坐标都不满足l的方程。
在直线l的上方和下方取一些点： 上方：(0，2)，(1，3)，(0，5)，(2，2)；
下方：(－1，0), (0，0), (0，－2), (1，－1)
2x－y－3=0的同侧，即包含原点的那一侧 （包含直线l）。
例2．画出下列不等式组所表示的平面区域： （1）2xxyy11≥00 解：（1）在同一个直角坐标系中， 作出直线2x－y+1=0(虚线)，
x+y－1=0(实线)。
用例1的选点方法，分别作出不等式2x－ y+1>0，x+y－1≥0所表示的平面区域，
把它们的坐标分 别代入式子x+y－1 中，我们发现，在l 上方的点的坐标使 式子的值都大于0，
在l下方的点的坐标 使式子的值都小于0。
y 5
4
3
2
1
-1 O -1 -2
x+y-1=0 x 12
这使我们猜想：l同侧的点的坐标是否 使式子x+y－1的值具有相同的符号？要么 都大于零，要么都小于零。
事实上，不仅对这个具体的例子有此 性质，而且对坐标平面内的任意一条直 线都有此性质.
二元一次不等式的一般形式为 Ax+By+C>0 或 Ax+By+C<0，
现在我们来探求二元一次不等式解集 的几何意义。
已知直线l：Ax+By+C=0，它把平面分 为两部分，每个部分叫做开半平面，开半 平面与l的并集叫做闭半平面。
不等式的解(x，y)为坐标的所有点构 成的集合，叫做不等式表示的平面区域 或不等式的图象。
性质：
直线l：Ax+By+C=0把坐标平面内不在 直线l上的点分为两部分，直线l同一侧的点 的坐标使式子Ax+By+C的值具有相同的符 号，并且两侧的点的坐标使Ax+By+C的值 的符号相反，一侧都大于零，另一侧都小 于零。
例1．画出下面二元一次不等式表示的平 面区域：
（1）2x－y－3>0； （2）3x+2y－6≤0.
例3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥 料，生产1车皮甲种肥料需用的主要原料 是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨，生产1车皮乙 种肥料需用的主要原料是磷酸盐1吨，硝 酸盐15吨，现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐 66吨。如果在此基础上进行生产，设x，y 分别是计划生产甲、乙两种混合肥料的车 皮数，请列出满足生产条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域。
解：设x，y分别是计划生产甲、乙两种混 合肥料的车皮数，则x，y所满足的数学关 系式为
4x y ≤10
18x 15y ≤ 66 分别画出不等式组中，

x≥0
y ≥ 0
各不等式所表示的区域.
4x y ≤10
18x 15 y ≤ 66

x≥0
y ≥ 0
（2）画出3x+2y－6≤0的平面区域. 解：（2）所求的平面区域包括直线，用 实线画直线l：3x+2y－6=0，
将原点坐标(0，0)代 入3x+2y－6，得 3×0+2×0－6=－6<0，
4y 3 3x+2y-6=0 2
3x+2y-60 1
-1 O -1
x 12
这样，就可以判定不等式3x+2y－6≤0所 表示的区域与原点位于直线
用例1的选点方法，分别作出不等式 2x－3y+2>0，2y+1≥0，x－3≤0 所表示的 平面区域，
2x 3y 2 0
（2） 2 y 1≥ 0
x 3≤ 0
y
3
则它们的交集
2
就是已知不等式
1
组所表示的区域。
-1 O 1
2y+1=0 -1
-2
2x-3y+2=0
23 x-3=0
解：（1）所求的平面区 域不包括直线，用虚线 画直线l：2x－y－3=0，
将原点坐标(0，0)代入 2x－y－3，得
y 2x-y-3=0 2
1
-1 O -1 -2
x 12
2×0－0－3=－3<0，
2x-y-3>0
这样，就可以判定不等式2x－y－3>0 所表示的区域与原点位于直线2x－y－3=0 的异侧，即不包含原点的那一侧。