圆锥曲线(求轨迹方程)汇总

专题 圆锥曲线（求轨迹方程）

求轨迹方程的常用方法

(1)直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系或F (x ，y )＝0；

(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

(3)代入转移法（相关点法）：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程．

1．一个区别——“轨迹方程”与“轨迹”

“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的．前者只须求出轨迹的方程，标出变量x ，y 的围；后者除求出方程外，还应指出方程的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关的数据．

2．双向检验——求轨迹方程的注意点

求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．

考向一 直接法求轨迹方程

【例1】 已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．

(1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C 的形状．

【解】 (1)由题意可知，直线PM 与PN 的斜率均存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝

y

x ＋1·y

x －1＝λ，整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y

2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．

(2)①当λ＞0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)；

②当－1＜λ＜0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)．

④当λ＜－1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．

【对点练习1】已知A ，B 为平面两定点，过该平面动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN

→

2

＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )

A ．圆

B ．椭圆

C ．抛物线

D ．双曲线

【解析】以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－

a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为MN →2

＝λAN →·NB →，所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2，

当λ＝1时，是圆的轨迹方程；

当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程； 当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程；

图8-8-1 当λ＝0时，是直线的轨迹方程． 综上，方程不表示抛物线的方程． 【答案】 C

考向二 定义法求轨迹方程

【例2】已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．

【解】 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．

由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．

设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1切，有|MO 1|＝r －1； 由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2.∴|MO 2|－|MO 1|＝3. ∴点M 的轨迹是以O 1，O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．

∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2

＝74

.

∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1⎝ ⎛

⎭⎪⎫x ≤－32.

【对点练习2】如图8­8­1所示，已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与点B (2,0)， 分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．

(1)△PAB 的周长为10；

(2)圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；

(3)圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切(P 为动圆圆心)．

【解】(1)根据题意，知|PA |＋|PB |＋|AB |＝10，即|PA |＋|PB |＝6＞4＝|AB |，

故P 点轨迹是椭圆，且2a ＝6,2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.

因此其轨迹方程为x 29＋y 2

5

＝1(y ≠0)．

(2)设圆P 的半径为r ，则|PA |＝r ＋1，|PB |＝r ，因此|PA |－|PB |＝1.

由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，且2a ＝1,2c ＝4，即a ＝1

2，c ＝2，b

＝152

，

因此其轨迹方程为4x 2

－415y 2＝1⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x ≥12.

(3)依题意，知动点P 到定点A 的距离等于到定直线x ＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p ＝4. 因此其轨迹方程为y 2＝－8x .

考向三 代入法(相关点法)求轨迹方程

【例3】如图8­8­2所示，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，

图8-8-5

点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝4

5

|PD |.

(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为4

5

的直线被C 所截线段的长度．

【解】(1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎨⎧

x P ＝x ，

y P ＝5

4y .

∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

54y 2＝25，即C 的方程为x 225＋y 2

16＝1.

(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4

5(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，

y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －32

25

＝1，即x 2－3x －8＝0.

∴x 1＝

3－412，x 2＝3＋412

. ∴线段AB 的长度为|AB |＝x 1－x 2

2

＋

y 1－y 2

2

＝

⎝

⎛

⎭⎪⎫1＋1625x 1－x 2

2

＝

4125×41＝41

5.

【对点练习2】(2014·模拟)如图8­8­5所示，以原点O 为圆心的两个 同心圆的半径分别为3和1，过原点O 的射线交大圆于点P ，交小圆于

点Q ，P 在y 轴上的射影为M .动点N 满足PM

→＝λPN →且PM →·QN →＝0.

(1)求点N 的轨迹方程；

(2)过点A (0,3)作斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2与点N 的轨迹分别 交于E ，F 两点，k 1·k 2＝－9.求证：直线EF 过定点．

【解】(1)由PM

→＝λPN →且PM →·QN →＝0可知N ，P ，M 三点共线且PM ⊥QN .

过点Q 作QN ⊥PM ，垂足为N ，设N (x ，y )，∵|OP |＝3，|OQ |＝1，由相似可知P (3x ，y )．

∵P 在圆x 2＋y 2＝9上，(3x )2＋y 2＝9，即y 29＋x 2＝1. 所以点N 的轨迹方程为y 2

9

＋x 2＝1.

(2)证明：设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，依题意，由⎩⎨⎧

y ＝k 1x ＋3，

y

2

9＋x 2

＝1

⇒(k 21＋9)x 2

＋6k 1x ＝0，①

解得x ＝0或x ＝－6k 1k 21＋9. 所以x E ＝－6k 1k 21＋9，y E ＝k 1⎝ ⎛⎭

⎪⎫－6k 1k 21＋9＋3＝27－3k 21

k 21＋9，

∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－6k 1k 21＋9

，27－3k 21k 21＋9. ∵k 1k 2＝－9，∴k 2＝－9k 1.用k 2＝－9k 1替代①中的k 1，