Z变换的定义与收敛域

留数法求Z反变换 留数法求 反变换
1 k 1 x[k ] = ∫c X ( z ) z dz 2πj
l
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
= ∑ Re s{ X ( z ) z k 1 } z = p
l
1 例：X ( z ) = (1 az 1 ) 2
1 z k 1 1) x[k ] = ∫c (1 az 1 ) 2 dz 2πj
第2章 Z变换
Z变换的定义与收敛域 Z反变换 系统的稳定性和H(z) 系统的稳定性和H(z) 系统函数
z变换定义及收敛域 变换定义及收敛域
X ( z) =
收敛域(ROC): R< |z|<R+ 1)有限长序列
k = ∞
∑
∞
x[k ] z k
X ( z) =
k = N1
∑
N2
x[k ]z
k
ROC
0< z <∞
(1) m! 1 = (m 1)! ( z a) 2+ m 1
m 1
= ma ( m +1) = (k + 1) a k
z =0
k
x[k ] = (k + 1)a u[k 1]
系统的稳定性和H(z) 系统的稳定性和
LTI系统稳定的充要条件：
∑ k = ∞
∞
h[k ] < ∞
H(z)的收敛域包含单位圆
∑
n =0
∑
n =0 N
bn z n an z n
N=0, a0≠0 时，系统称FIR(finite impulse response) N>0，{ak ;k=1,2...N}中至少有一项非零时，系统被称 为IIR(infinite impulse response)系统
系统函数H(z)的表示方式 的表示方式 系统函数
是h[k]实系数时，由H(ej)的对称性质可得
H ( e ) = H ( e j ) H ( e j )
j
2
= H (e ) H (e
j
j
)
= H ( z ) H ( z 1 ) z =e j
差分方程和系统函数
∑
N n =0
an y[k n] = ∑ bn x[k n]
n =0 M
M
Y ( z) H ( z) = = X ( z)
c)零点、极点和增益常数表示
H ( z ) = kz
( N M )
( z z (1))( z z (2) ( z z ( M )) ( z p(1))( z p (2)) ( z p ( N ))
L
d) 2阶因子表示
H ( z) = ∏
k =1
b0 k + b1k z 1 + b2 k z 2 1 2 a0 k + a1k z + a2 k z
a) z-1的有理函数表示
b0 + b1 z + + bM z H ( z) = a0 + a1 z 1 + + a N z N
b) z的有理函数表示
1
M
b0 z M + b1 z M 1 + + bM H ( z) = z ( N M ) N N 1 a0 z + a1 z + + a N
1 = 1 1 az
z > a
3)左边序列
X ( z) =
k = ∞
∑
N2
x[k ]z
k
z < R+
例：x[k ] = b k u[k 1]
X ( z) =
k = ∞
∑
1 1
b z
k
k
= ∑b z
k k =1
∞
k
= 1 ∑b z
k k =0
∞
k
1 1 = 1 = 1 1 b z 1 bz 1
单位圆 Im(z) Re(z)
单位圆
Im(z) Re(z)
稳定因果系统
非稳定非因果系统
单位圆
Im(z) Re(z)
稳定非因果系统
系统函数
对LTI系统:
y[k]=x [k]*h[k]
由z变换的性质：Y(z)=H(z)X(z) H(z)称为离散LTI系统的系统函数 当的H(z) ROC包含单位圆时
H ( e j ) = H ( z ) z = e j
1 0 ≤ k ≤ N 1 例：x[k ] = = RN [ k ] 0 其它
X ( z) = ∑ z
k =0
N 1
k
1 zN = 1 1 z
z >0
2)右边序列
X ( z) =
k = N1
∑
∞
x[k ]z
k
z > R
例：x[k ] = a k u[k ]
X ( z) = ∑ a z
k k =0 ∞ k
z <b
4)双边序列
X ( z) =
k = ∞
∑
∞
x[k ]z
k
ROC R < z Байду номын сангаас R+
例：x[k ] = a k u[k ] b k u[ k 1] 1 1 X ( z) = + 1 1 1 az 1 bz
a < z <b
部分分式法求Z反变换 部分分式法求 反变换
1 例 : 已知H ( z ) = 求所有不同的收敛情况 下的h[k ] 1 1 (1 2 z )(1 3 z )
x[k]=0
+1 dz k +1 x[k ] = dz
求：1)ROC为|z|>|a|时的x[k] 2)ROC 为|z|<|a|时的x[k]
1 z k +1 = ∫c ( z a) 2 dz 2πj
= (k + 1)a
z =a
k
x[k ] = ( k + 1)a k u[k + 1] = (k + 1) a k u[k ]
1) |z|>3
2 3 H ( z) = + 1 1 2z 1 3 z 1 非稳定，因果
h[k ] = (2 k +1 + 3 k +1 )u[k ]
2) 2<|z|<3 非稳定， 非因果
h[k ] = 2 k +1 u[k ] 3 k +1 u[ k 1]
3) |z|<2 稳定，非因果
h[ k ] = 2 k +1 u[ k 1] 3 k +1 u[ k 1]
1 z k +1 2) x[ k ] = ∫c ( z a) 2 dz 2πj
k ≥ 1
k ≤ 2
x[k ] = 0
令 k 1 = m, m = 1,2
z =0
1 d m1 1 1 1 x[k ] = ∫c z m ( z a) 2 dz = (m 1)! dz m1 ( z a) 2 2πj