热传导方程扩散方程【精选】

c( t2 udt)dV [t2 c u dV ]dt

t1 t
t1

t
(1.1)
（2）通过曲面 S 进入 内的热量 Q1
由傅里叶热传导定律，从 t1 到 t2 这段时间内通过 S
进入 内的热量为
Q1
t2
u k( x, y, z) dS dt ,
扩散等的稳定过程时，由于表达该物理过程的物
理量 不随u 时间变化而变化，因此
u. 0
t
如果我们考虑的是一个稳定的热场，则可以得到
不随时间变化而变化的温度 u x, y, z,t 所满足的方
程：
2u x 2

2u y 2

2u z 2

0,
(*)
方程(*)称为三维拉普拉斯(Laplace)方程或者
段时间内通过曲面S 流入（或流出） 内的
热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即
内温度变化所需要的热量 Q =通过曲面 S 流入 内的热量 Q1+热源提供的热量 Q2
下面分别计算这些热量
（1） 内温度变化所需要的能量 Q
设物体 G 的比热（单位质量的物体温度改变 1 C
所需要的热量为c c(x, y, z), 密度为 (x, y, z),
任取物体 G 内一个由光滑闭曲面 S 所围成的区
域 ，研究物体在该区域 内热量变化规律。
热量 守恒 定律
区域 内各点的温度从时刻 t1 的温度u(x, y, z, t1 ) 改变为时刻 t2 的温度 u(x, y, z, t2 ) 所吸收（或
放出）的热量，应等于从时刻 t1 到时刻 t2 这
u k n g( x, y, z, t), ( x, y, z) ,
t 0, (1.9)
特别地：g(x, y, z, t) 0 时，表示物体绝热。
u 表示 u 沿边界 上的单位外法线方向 n 的方向导数
n
3、第三边界条件 ( D-N 混合边界条件 )

u n
u f x, y, z 或者 2u f x, y, z.
拉普拉斯方程和泊松方程不仅描述稳定状态下温 度的分布规律，而且也描述稳定的浓度分布及静 电场的电位分布等物理现象。
1、Dilichlet问题。
(uxx uyy uzz ) f ( x, y, z), ( x, y, z) ,
该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式; 简化整理，得到方程。
2 热传导动方程
第一节 热传导方程的导出和定解条件
一、热传导方程的导出： 模型：给定一空间内物体 G ，设其上的点 ( x, y, z)
在时刻 t 的温度为 u( x, y, z, t)。 问题： 研究温度 u( x, y, z, t) 的运动规律。
t1 S
n
由高斯公式
divAdxdydz A ndSx

S
知
Q1
[t2
t1
( (k u) (k u) (k u))dV ]dt .(1.2) x x y y z z
（3）热源提供的热量Q2
用 F( x, y, z, t)表示热源强度，即单位时间内从单位
解： 在边界上有：
q0
u
n
q0 k n
x=l处： k
u
n
x=0处：u
|xl
k u x xl u

qn

q0
k n |x0 k ( x) qn q0 xl
若端点是绝热的，则
u u x |xl x x0 0
q0
n
x
u x
热传导方程的Cauchy问题
utt u |t0
a 2uxx
(x
)
0
ut |t0 ( x)
( x ,t 0) ( x )
波方程的Cauchy问题
由泛定方程和相应边界条件构成的定解问题称为 边值问题。
u 0, (x, y) ,
边界条件：( G )
1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
u g( x, y, z, t), ( x, y, z) , t 0, (1.8)
特别地：g(x, y, z, t) 0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
注：
u k n dSdt k1 (u u1 )dSdt,
或
u k n k1 (u u1 ).
即得到（1.10）：
( u n

u)
|( x, y,z )

g( x,
y, z, t).
例 长为l 的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为
q0 ，写出这个热传导问题的边界条件。
4、除了三维热传导方程外，物理上，温度的分
布在同一个界面上是相同的，可得一维热传导方
程： u a2 2u .
t
x2
(1.12)
而对于薄片的热传导，可得二维热传导方程：
u t

a
2
(
2u x 2

2u y2 ).
(1.13)
3 拉普拉斯方程
当我们研究物理中的各类现象，如振动、热传导、
t1
t
t1 x x y y z z
[t2 F(x, y, z,t)dV ]dt t1
由 及 t1 , t2 的任意性知
c u


u (k )

u (k )

u (k ) F(x, y, z, t).(1.4)
t x x y y z z

u



g( x,
y,
z,
t ),
(x, y, z) ,
其中： k1 0,
k
Байду номын сангаас
g

k1 k
u1 .
t 0,
(1.10)
注意第三边界条件的推导：
研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题
把一个温度变化规律为 u(x, y, z, t)的物体放入 空
气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度
调和方程，它通常表示成为 u 0 或者 2u 0 的形式。
如果我们考虑有源的稳定热场，则可以得到方程：
2u x 2

2u y2

2u z 2


f

x,
y,
z,
()
其中 f x, y, z F( x, y, x)/ k.
非齐次方程 () 通常叫做泊松(Poisson)方程，记作
u |(x, y,z) g( x, y, z, t), t 0.
t 0,
定义2 在区域 R3 [0, ) 上，由偏微分方程和初 始条件组成的定解问题称为初值问题或柯西问题。 例如三维热传导方程的初值问题为：
ut a2 (uxx uyy uzz ) f ( x, y, z, t), ( x, y, z, t) R3 , t 0,

u( x, y, z, t) |t0 ( x, y, z),
(x, y, z, t) R3.
注 1、热传导方程不仅仅描述热传导现象，也可以
刻画分子、气体的扩散等，也称扩散方程；
2、上述边界条件形式上与波动方程的边界条件 一样，但表示的物理意义不一样；
3、热传导方程的初始条件只有一个，而波动方 程有两个初始条件。
§1.3 定解问题的提法
初始条件和边界条件通称为定解条件。 定解问题是指泛定方程和相应定解条件的结合体。
泛定方程和相应初始条件构成的定解问题称为初值 问题或者柯西(Cauchy)问题。
ut a2uxx 0
u |t0 ( x)
( x ,t 0) ( x )
u( x, y, z) | ( x, y, z), ( x, y, z) .
2、Neumann问题。
u f ( x, y, z), ( x, y, z) ,

u n

( x,
y,
z),
(x, y, z) .
3、 第三边值问题。
u f ( x, y, z), ( x, y, z) ,
|xl

q0 k
u x
|x0


q0 k
三、定解问题
定义1 在区域 G [0, ) 上，由偏微分方程、初 始条件和边界条件中的其中之一组成的定解问题称为 初边值问题或混合问题。
uut
a2uxx
x,0 (
0, x),

uo,t

1(t ),
0 x l, t 0, 0 x l, t 0,
第一章
数学建模和基本原理介绍
从不同的物理模型出发，建立数学物理中三类 典型方程
根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出 定解条件
提出相应的定解问题
§1.1 数学模型的建立
数学模型建立的一般方法：
确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系； 划出研究小单元，根据物理定律和实验资料写出
ux l, t h ul, t 2 (t), t 0, h 0.
例如三维热传导方程的第一初边值问题为：

ut
a2 (uxx
uyy
uzz )
f (x, y, z, t),
(x, y, z,t) ,
u( x, y, z, t) |t0 ( x, y, z), ( x, y, z, t) ,
分析：（两个物理定律和一个公式）
1、热量守恒定律:
温度变
化吸收
通过边 界流入
热源放 出的热
的热量
的热量
量
2、傅里叶（Fourier）热传导定律:
dQ k( x, y, z) u dS dt , n
k( x, y, z) 为热传导系数。
3、热量公式: Q cmu
热传导方程的推导：
那么包含点 (x, y, z)的体积微元dV的温度从 u(x, y, z, t1 ) 变为 u(x, y, z, t2 ) 所需要的热量为
dQ c[u( x, y, z, t2 ) u( x, y, z, t1 )]dV
整个 内温度变化所需要的能量Q
Q dQ c[u( x, y, z, t2 ) u( x, y, z, t1 )]dV
u f (x, y).
Laplace方程的边值问题
由偏微分方程和相应的初始条件及边界条件构成 的定解问题称为混合问题。
体积内放出的热量，则从 源所提供的热量为
t1
到
t2
这段时间内
内热
由Q热2 量 守tt12恒[ 定 律F得( x：, y, z, t)dV ]dt
(1.3)
[t2 c u dV ]dt [t2 ( (k u) (k u) (k u))dV ]dt
为 u1(x, y, z, t)，它与物体表面的温度u(x, y, z, t)并不
相同。这给出了第三边界条件的提法。
热传导 从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：
试验定 律或牛
dQ k1(u u1)dSdt,
(1.11)
顿定律 其中比例常数 k1 0 称为热交换系数
流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶 定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：
三维有热源的热传导方程： （均匀且各向同性物 体，即 c, , k 都为常数的物体）
u t

a2

2u x 2

2u 2u
y2

z 2


f (x,
y, z, t),
(1.5)
其中 a2 k , f F , f 称为非齐次项（自由项）。
c
c
三维无热源热传导方程：
u t

a2

2u x 2

2u y 2

2u z 2


0
.
(1.6)
通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6） 为齐次热传导方程。
二、定解条件（初始条件和边界条件） 初始条件：
u(x, t) (x, y, z), (x, y, z) G, t 0 : (1.7)


u n


u


(
x,
y,
z),
(x, y, z) .
总 结：
波动方程（双曲型）— 声波、电磁波、杆的振 动；
热传导方程（抛物型）— 热传导，物质扩散时 的浓度变化规律, 土壤力学 中的渗透方程;
Laplace方程 （椭圆型）— 稳定的浓度分布, 静电场的电位, 流体的势。