1波动方程及其解 一维简谐波
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当 ( x, t) f (u t x) 波速为 -u ( x, t) f (u t - x) 波速为 +u
5 波的叠加性
若
2i
t2
u2
2i
x2
而
则
2
t2
u2
2
x2
6 简谐波
n
= aii i 1
u2 Y
质元作简谐振动，该振动（位相）就将传播
(t ) A cos( t )
证明
2 t2
u2
d2 f dy2
例：
Biblioteka Baidu
f (y)
1 y2 1
(
x
,
t
)
(ut
1 x)2
1
u2
2 x2
u2
d2 f dy2
(1)2
u2
d2 f dy2
f ( y) Acos y
d2 f 存在， dy2
( x, t ) A cos(ut x) 是方程解
波动方程有无穷多个波函数形式
2 各个质元的运动形式
= 0 的时空点( x, t )
2
t2
u2
2
x2
u2 Y
若 (x,t) f (ut x) 0
要求 ut x 常 数
位移（取定值）的运动表达式
位移运动的速度： v dx u dt
4 波函数的物理意义
物理量（位移）以速度u运动（传播）——行波 某一质元（波源）率先以某种方式运动时，这一 运动方式将以速度u传播
3）P 点的初相 p 2 3 2 o p 3 4 x p x k 3 4 cm
4） y p ( x, t ) 2.0 cos(100 t x / 2) cm
平均应变
x 处截面应变（ x0）：/x
相对形变
应力（内力） ——产生形变
F(x,t)/S
F Y
S x
虎克定律
Y -杨氏模量
比较 F kx
二. 波动方程
ma F2 F1 质量体密度
x1 o
(
Sx
)
2
t2
F2
F1
F1 截面S x1截面
x x2
x
x
··
F2
(x,t)
x2截面
2
t2
F2 S
F1 S
x
虎克 定律
Fi S
Y ( x )i
i 1,2
2
t2
Y
(
/
x)2 ( x
/
x )1
x0
2
t2
Y
2
x2
u2
2
x2
波动方程
u2 Y
三 波动方程的解及物理意义
1 方程的解 若 d2 f 存在，则 dy2
2
t2
u2
2
x2
u2 Y
( x, t) f (u t x) f ( y) 是方程的解——称为波函数
1） 每个质元振动的 A 相同
波速ｕ
2)
沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。 a
b·
波长 : 两相邻同相点间的距离
k 2
相位落后 a b
o
k（ x b
xa
x
） kx
x
3）波速u : 任一位相的速度——相速度
u
kT
4）原点初相为
5）波型曲线
2
求原点下一时刻振动方向
o
u
t
x
例：简谐波如图，波速 u =100cm/s，求：1）O、P、Q各点
构造 ( x, t ) A cos( t kx ) 波函数
( x, t ) A cos{k[( / k )t x] }
要求 k = / u
k----波数： 单位距离包含的相位(差)
§2 一维简谐波表达式(波函数)各量的物理意义
( x, t ) A cos( t kx ) AAccooss{(k2[uttx2] x } ) T
波动方程及其解
1 波动方程 2 波动方程的解（波函数）及物理意义
一维简谐波表达式(波函数)
波动
§1 波动方程及其解
一.固体棒中某截面处的应力、应变关系
o 自由状态
t 时刻
x
x+x
x = l
x截面 F1
(x,t)
l+ l
x+x截面
(x+x, t)
x
质量体
密度
平均形变 l / l =[(x+ x,t) - (x,t)] / x
下时刻的运动方向；2）波函数； 3）P点的坐标；4）以 P 为坐标 原点的波函数
解：作下时刻的波形线
1）O、Q点向下；P 点向上
2）四个参量
y(cm)
2
O
P
A 2.0cm 2.0cm -2.0
u 1.0cm
Q
t=0 x(cm)
k 2 / cm uk 100 / s 4
y( x , t ) 2.0 cos(100 t x / 4)cm
2
t2
u2
2
x2
对于固定点x0 ( x0 , t) f (u t x0 )
质元可作无穷多个函数形式的运动
u2 Y
3 波型曲线
( x,t0 )
固定 t, (t = t0 )
1 (ut0 x)2 1
(x,t0)
x
0
( x ,t0 ) A cos( x ut0 )
o
x
考察位移为某一定值
5 波的叠加性
若
2i
t2
u2
2i
x2
而
则
2
t2
u2
2
x2
6 简谐波
n
= aii i 1
u2 Y
质元作简谐振动，该振动（位相）就将传播
(t ) A cos( t )
证明
2 t2
u2
d2 f dy2
例：
Biblioteka Baidu
f (y)
1 y2 1
(
x
,
t
)
(ut
1 x)2
1
u2
2 x2
u2
d2 f dy2
(1)2
u2
d2 f dy2
f ( y) Acos y
d2 f 存在， dy2
( x, t ) A cos(ut x) 是方程解
波动方程有无穷多个波函数形式
2 各个质元的运动形式
= 0 的时空点( x, t )
2
t2
u2
2
x2
u2 Y
若 (x,t) f (ut x) 0
要求 ut x 常 数
位移（取定值）的运动表达式
位移运动的速度： v dx u dt
4 波函数的物理意义
物理量（位移）以速度u运动（传播）——行波 某一质元（波源）率先以某种方式运动时，这一 运动方式将以速度u传播
3）P 点的初相 p 2 3 2 o p 3 4 x p x k 3 4 cm
4） y p ( x, t ) 2.0 cos(100 t x / 2) cm
平均应变
x 处截面应变（ x0）：/x
相对形变
应力（内力） ——产生形变
F(x,t)/S
F Y
S x
虎克定律
Y -杨氏模量
比较 F kx
二. 波动方程
ma F2 F1 质量体密度
x1 o
(
Sx
)
2
t2
F2
F1
F1 截面S x1截面
x x2
x
x
··
F2
(x,t)
x2截面
2
t2
F2 S
F1 S
x
虎克 定律
Fi S
Y ( x )i
i 1,2
2
t2
Y
(
/
x)2 ( x
/
x )1
x0
2
t2
Y
2
x2
u2
2
x2
波动方程
u2 Y
三 波动方程的解及物理意义
1 方程的解 若 d2 f 存在，则 dy2
2
t2
u2
2
x2
u2 Y
( x, t) f (u t x) f ( y) 是方程的解——称为波函数
1） 每个质元振动的 A 相同
波速ｕ
2)
沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。 a
b·
波长 : 两相邻同相点间的距离
k 2
相位落后 a b
o
k（ x b
xa
x
） kx
x
3）波速u : 任一位相的速度——相速度
u
kT
4）原点初相为
5）波型曲线
2
求原点下一时刻振动方向
o
u
t
x
例：简谐波如图，波速 u =100cm/s，求：1）O、P、Q各点
构造 ( x, t ) A cos( t kx ) 波函数
( x, t ) A cos{k[( / k )t x] }
要求 k = / u
k----波数： 单位距离包含的相位(差)
§2 一维简谐波表达式(波函数)各量的物理意义
( x, t ) A cos( t kx ) AAccooss{(k2[uttx2] x } ) T
波动方程及其解
1 波动方程 2 波动方程的解（波函数）及物理意义
一维简谐波表达式(波函数)
波动
§1 波动方程及其解
一.固体棒中某截面处的应力、应变关系
o 自由状态
t 时刻
x
x+x
x = l
x截面 F1
(x,t)
l+ l
x+x截面
(x+x, t)
x
质量体
密度
平均形变 l / l =[(x+ x,t) - (x,t)] / x
下时刻的运动方向；2）波函数； 3）P点的坐标；4）以 P 为坐标 原点的波函数
解：作下时刻的波形线
1）O、Q点向下；P 点向上
2）四个参量
y(cm)
2
O
P
A 2.0cm 2.0cm -2.0
u 1.0cm
Q
t=0 x(cm)
k 2 / cm uk 100 / s 4
y( x , t ) 2.0 cos(100 t x / 4)cm
2
t2
u2
2
x2
对于固定点x0 ( x0 , t) f (u t x0 )
质元可作无穷多个函数形式的运动
u2 Y
3 波型曲线
( x,t0 )
固定 t, (t = t0 )
1 (ut0 x)2 1
(x,t0)
x
0
( x ,t0 ) A cos( x ut0 )
o
x
考察位移为某一定值