比例黄金分割平行线分线段成比例定理及例题

要点一、比例线段

1成比例线段： 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四 条线段叫做成比例线段，

简称比例线段.

2.比例的性质：

a c

——二——

(1) 基本性质：如果 B 圧，那么位日二心U .

要点诠释：

(1) 两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位, 再求它们的比； (2) 两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； (3) 两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.

要点二、黄金分割

AC _SC

1. 定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果亠二 -1 ,那么线段AB 被点C 黄金 分割，点C 叫做线段AB

的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.

要点诠释：

二

疋0.618AB (二 叫做黄金分割值).

2. 作一条线段的黄金分割点：

如图，已知线段 AB 按照如下方法作图：

丄

(2)合比性质：如果

行,那么字 c+d

a _c d

如果 b d

.那么等今

(1)经过点B作BD^ AB使BD==AB

(2)连接AD在DA上截取DE=DB

(3)在AB上截取AOAE则点C为线段AB的黄金分割点

要点诠释：

一条线段的黄金分割点有两个

要点三、平行线截线段成比例

基本事实：

两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例

已知如图，直线11、12、13是一组等距离的平行线，14、15是任意画的两条直线，分别 于这组平行线相交于点 A , B, C, D, E , F ,则比例式

AB _ AS _ BC _ 血 炉

臣：歹.巫二亦'殛二血’庞二血'成立.

AD _ AE 匸三 二二一工 .二7 一4 T 依然成立.

要点四、把已知线段 AB 五等分.

已知线段AB,请利用尺规作图把线段 AB 五等分. 作法

AD_ AE DB_ EG

则常用的比例式:

要点诠释:

A 型和X 型;

1.以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA=A I A=AA=AA4=A4A.

2.连结AB,并过点A i, A2, A3, A分别作AB的平行线，依次交AB于点B i, B2, B3,

E4.则点B i，B2，B3，B4就

是所求作的把线段AB五等分的点.

依据：实际上，过点A作I // AB,根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如

下关系式

処=墾=Vi =昭一史

M AA 44 M 44'

■/ AA=AlA=A2A3=AA4=A4A5,

/• AB=B i E b=E2B3=E3B4=B4B,

•••点B i, B2, B3, E4把线段AE五等分•

要点诠释：

在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规，不能使用直尺进行量取，尺规作图

中的直尺是没有刻度的，它的用途是画线或者连线.

例题：

1. （2016?兰州模拟）若a： b=2 : 3,则下列各式中正确的式子是（）

【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案.

【答案】B.

【解析】

A、2a=3b? a：b=3 : 2,故选项错误；

B、3a=2b? a：b=2 : 3,故选项正确；

C、b_

a

=

2

=7

-

? b: a=2：3,故选项错误；

D =- ?a：b=3 : 2，故选项错误.

故选B.

【总结升华】考查了比例的性质.在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积.

【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x, y, z的值，因此用设参数法代

入化简.

【答案与解析】

_ y _ 2

设2 ? 4 = k

贝V x = 2k, y= 3k, z= 4k

2咒（2上）'一3x3上汇也疋+〔4比卩 _加 1

原式=（羽2-2说1弘-（4妙=卡戶=2

【总结升华】解此类题学生容易误认为设k后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去

【思路点拨】

【答案与解析】

矩形ABFE是黄金矩形.

2（历+1）]_若+ 1 [—蔚-1

_ 2 _ 2

所以矩形ABFE也是黄金矩形.

【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法

AG_AF

5. (2014秋?平川区校级期中)已知：如图，在△ABC中，AB=AC且EG/ CD证

明：AE=AF

[AG AE AG AF AE AF AF 由平行可得GD- EC,且G［厂FE,可得®C=F3

1 r i

,结合AB-AC ,由比例的性质可得反=AB 可得AE=AF .

【解析】

证明：••• EG // CD , 扯座

~AGAF 且T T

(2)要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明

AS AD-ED _AD __ED

AS_石_石

(1)矩形的宽与长之比值为，则这种矩形叫做黄金矩形.

即可.