天津市中考数学试题分类解析 专题8 平面几何基础

天津市中考数学试题分类解析专题8 平面几何基础

专题8：平面几何基础

一、选择题

1. （2001天津市3分）在等边三角形、平行四边形、矩形和圆这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有【】

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B。

【考点】轴对称图形和中心对称图形，等边三角形、平行四边形、矩形和圆的性质。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，

等边三角形只是轴对称图形，平行四边形只是中心对称图形；矩形和圆既是轴对称图形又是中心对称的图形。故选B。

2.（天津市2002年3分）有如下四个结论：

①有两边及一角对应相等的两个三角形全等；

②菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形；

③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

④两圆的公切线最多有4条。

其中正确结论的个数为【】

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

【答案】B。

【考点】全等三角形的判定，菱形的性质，垂径定理，圆与圆的位置与切线的关系。

【分析】根据全等三角形的判定定理，菱形的对称性，垂径定理，两圆的位置与切线的关系作答：

①边边角不能判定两三角形全等，故错误；

②正确；

③当弦也是直径时不成立，故错误；

④两圆外离时，有4条公切线，正确。

故选B。

3.（天津市2003年3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【】

（A）等边三角形（B）平行四边形

（C）等腰梯形（D）圆

【答案】D。

【考点】中心对称图形，轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；

B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；

C、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形；

D、圆是轴对称图形，也是中心对称图形。故选D。

5.（天津市2004年3分）若一个正多边形的每一个内角都等于120°，则它是【】

(A) 正方形 (B) 正五边形 (C) 正六边形（D）正八边形

【答案】C。

【考点】多边形内角与外角。

【分析】利用多边形内角和公式，根据性质列出方程即可：

设所求多边形边数为x，根据题意，得（x－2）×1800=1200?x，

解之，得x=6。

∴所求图形是正六边形。故选C。

6.（天津市2005年3分）下列命题中的真命题是【】

（A）关于中心对称的两个图形全等

(B) 全等的两个图形是中心对称图形

(C) 中心对称图形都是轴对称图形

(D) 轴对称图形都是中心对称图形

【答案】A。

【考点】命题与定理，中心对称图形，轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，

A、关于中心对称的两个图形全等，故正确；

B、全等的两个图形不一定是中心对称图形，故错误；

C、中心对称图形不一定是轴对称图形，故错误；

D、轴对称图形不一定是中心对称图形，故错误。

故选A。

7.（天津市2005年3分）如果限定用一种正多边形镶嵌，在下面的正多边形中，不能镶嵌成一个平面的是【】

（A）正三角形 (B)正方形 (C)正五边形 (D) 正六边形

【答案】C。

【考点】平面镶嵌（密铺），多边形内角和定理。

【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360°即可作出判断：

A，正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；

B，正方形的每个内角是90°，能整除360°，能密铺；

C，正五边形每个内角是3×180°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；

D，正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺。

故选C。

8.（天津市2006年3分）下列图形中，为轴对称图形的是【】

【答案】B。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，观察图形可知B 是轴对称图形。故选B 。

9.（天津市2007年3分）下列图形中，为轴对称图形的是【 】

【答案】D 。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，观察图形可知D 是轴对称图形。故选D 。

10.（天津市2008年3分）对称现象无处不在，请你观察下面的四个图形，它们体现了中华民族的传统文 化，

其中，可以看作是轴对称图形的有【 】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

【答案】D 。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，观察图形可知四个图形都为轴对称图形。故选D 。

11.（天津市2008年3分）边长为a 的正六边形的面积等于【 】 A ．

2

4

3a B ．2a

C ．

2

2

33a D ．233a

【答案】C 。 【考点】正多边形。

【分析】边长为a 的正六边形的面积=6×边长为a 的等边三角形的面积=6×1

2

×a ×（a ×sin60°）2

33。故选C 。 12.（天津市2009年3分）在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形

的有【】

A．2个B．3个C．4个D．5个

【答案】B。

【考点】中心对称图形。

【分析】中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，因此，根据中心对称图形的定义，抓住所给图案的特征，可找出图中成中心对称图形的字母：H、I、N是中心对称图形，所以是中心对称图形的有3个。故选B。

13.（天津市2010年3分）下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为【】

（A）（B）（C）（D）

【答案】B。

【考点】中心对称图形，轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，

A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意。

故选B。

14.（天津市2011年3分）下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是【】

【答案】A 。

【考点】中心对称图形。

【分析】根据在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形的定义，直接得出结果。

15. （2012天津市3分）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是【 】

【答案】B 。

【考点】中心对称图形。

【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解：A 、C 、D 都不符合中心对称的定义。故选B 。 二、填空题

1.（天津市2005年3分）如图，已知五边形ABCDE 中，AB//ED ，∠A＝∠B＝90°，

则可以将该五边形ABCDE 分成面积相等的两部分的直线有 ▲ 条，满足条件的直线可以这样确定：

（D ）

（C ） （B ） （A ）

______________________________________________

______

____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________

【答案】无数。过点C 作与AB 平行的直线将该五边形分割为一个矩形和一个梯形，经过梯形中位线的中点及矩形对角线的交点的直线可将该五边形的面积均分；设该直线与边DE 、AB 的交点分别为P 、Q ，线段PQ 的中点为O ，则经过点O 且与边DE 、AB 相交的任意一条直线均可将该五边形的面积均分 【考点】多边形。

【分析】过点C 作与AB 平行的直线将该五边形分割为一个矩形和一个梯形，经过梯形中位线的中点及矩形对角线的交点的直线可将该五边形的面积均分；设该直线与边DE 、AB 的交点分别为P 、Q ，线段PQ 的中点为O ，则经过点O 且与边DE 、AB 相交的任意一条直线均可将该五边形的面积均分。 设点O 且与边DE 、A B 相交的任意一条直线P′Q′，

∵OP=OQ，∠POP′=∠QOQ′，∠P′PO=∠Q′QO，∴△POP′≌△QOQ′（ASA ）。 ∴POP QOQ S S ?'?'=。∴P EAQ P Q S S BCD ''''=。

2.（天津市2009年3分）如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD ，要将其剪拼成边长分别为a b ，的

两个小正方形，使得222

5a b +=．①a b ，的值可以是 ▲ （写出一组即可）；②请你设计一种具有

一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性： _____________________

【答案】①3、4。

②裁剪线如图所示（红线）：图中的点E 是以AB 为直径的半圆上的任

意一点（点A 、B 除外），连接BE 并延长交DA 于点F ；过点C 作CG⊥BF，垂足为点G ；过点F 作FH∥AB，交BC 于点H ；过点H 作HI⊥CG，垂足为点I 。则裁剪线为BF 、AE 、CG 、HI 。其中AE 和BE 即为两个小正方形的边长。

由于点E 是以AB 为直径的半圆上的任意一点（点A 、B 除外），从而

该裁剪方法具有一般性。

【考点】正方形的性质和判定，勾股定理的应用，圆周角定理，平行和垂直的性质 【分析】①使得2225a b +=．由直角三角形勾股定理的很容易联想到a b ，的值是3、4。

②∵点E 是以A B 为直径的半圆上的任意一点（点A 、B 除外）， ∴∠AEB=900

。∴AE 2

＋BE 2

=AB 2

，即2225a b +=。

其余证明略。拼接方法如图所示：红字母即为拼接的位置：

(E)

(A)(F)

(H)(C)(I)

(A)(B)

(E)

I

H G

F

E

D

C B A

3.（天津市2011年3分）如图，六边形ABCDEF 的六个内角都相等．若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于 ▲ 。

b a

b

I

H

G

F

E D

C

B A

4.（天津市2011年3分）如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．

(I) 该正方形的边长为▲ 。(结果保留根号)

(II) 现要求只能用两条裁剪线．请你设计一种裁剪的方法．在图中画出裁剪线，

并简要说明剪拼的过程：▲ 。

【答案】(I)15。

(II)如图．①作出BN=15 (BM=4，MN=1，∠MNB=90°)：

②画出两条裁剪线AK，BE (AK=BE=15．BE⊥AK)：

③平移△ABE和△ADK。

此时，得到的四边形BEF'G即为所求．

【考点】尺规作图，勾股定理，相似三角形的判定和性质，图形的移动和拼接。

【分析】（Ⅰ）∵矩形面积等于15，∴与之面积相等的正方形边长为15。

（Ⅱ）先要作出15的长。考虑到（15）2=42－12，故只要作以4为斜边1为一直角边的三角形，另一直角边长即15。

考虑到3╳5=15·15，即

15

=

15

，所以有以上作法。

5. （2012天津市3分）“三等分任意角”是数学史上一个著名问题．已知一个角∠MAN设

1

MAN

3

α

∠=∠

（Ⅰ）当∠MAN=690时，α

∠的大小为▲ （度）；

（Ⅱ）如图，将∠MAN放置在每个小正方形的边长为1cm的网格中，角的一边AM与水平方向的网格线平行，另一边AN经过格点B，且AB=2.5cm．现要求只能使用带刻度的直尺，请你在图中作出α

∠，并简要说明作法（不要求证明）▲ ．

【答案】（Ⅰ）23。

（Ⅱ）如图，让直尺有刻度一边过点A，设该边与过点B的竖直方向的网格线交于点C，与过点B 水平方向的网格线交于点D，保持直尺有刻度的一边过点A，调整点C、D的位置，使CD=5cm，画射线AD，此时∠MAD即为所求的∠α。