华东师大 第四版 数学分析上册 课件

定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求 导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必
f ( x ) 0 如果 仍属 型，且 f ( x ), F ( x ) 满足 F ( x ) 0 定理的条件，可以继续 使用洛必达法则，即
lim f ( x) f ( x ) f ( x ) lim lim . x a F ( x ) x a F ( x ) x a F ( x )
1数列极限的概念
2收敛数列的性质
3数列极限存在的条件
数列极限的概念
定义1 设 为数列 a为定数，若对 定义1’ 任给 ε>0 定义2 若 定理2.1 定义3 定义4
收敛函数的性质
定理2.2 定理2.3 定理2.4 定理2.5 定理2.6 定理
第三章 函数极限
1 函数极限的概念
2 函数极限的性质
第九章 定积分
1 定积分概念
2 牛顿-莱布尼茨公式 3 可积条件 4定积分的性质 6 可积性理论补叙
第十章 定积分的应用
1 平面图形的面积 2 由平行截面面积求体积 3 平面曲线的弧长与曲率 4 旋转曲面的面积 5 定积分在物理中的某些应用 6 定积分的近似计算
第十一章 反常积分
1 反常积分概念
' 即 f ( ) 0
(1)
例如,
f ( x ) x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1).
在( 1,3)上可导,
在[1,3]上连续,
f ( x ) 2( x 1),
且 f ( 1) f ( 3) 0,
f ( ) 0.
取 1, (1 ( 1,3))
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3 函数极限存在的条件
4 两个重要的极限
5无穷小量不无穷的大量
第四章 函数的连续性
1 连续性概念 2连续函数的概念 3初等函数的连续性
第五章 导数和微分
1 倒数的概念 2求导法则 3参变量的函数
4高阶导数
5微分
第六章微分中值定理及其应用
1 拉格朗日中值定理和函数的单调性 2 柯西中值定理和不定式极限 3泰勒公式 4函数的极值与极大极小值 5函数的凸性与拐点 6 函数图像的讨论 7方程的近似解
当x 时,以及x a , x 时, 该法则仍然成立 .
lim f ( x) f ( x ) lim . x F ( x ) x F ( x )
洛必达法则
型
f g 1 g 1 f 1 g 1 f
0 0 ,1 , 0 型
0 型 0 型
令y f 取对数
1 拉格朗日中值定理和函数的单调性
一 罗尔定理不拉格朗日定理 二 单调函数
罗尔(Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x ) 在闭区间 [a , b] ( 2) ( 3) 上连续,在开区间( a , b ) 内可导,且在区间端点的函数 值相等，即 f ( a ) f ( b ) ,那末在( a , b ) 内至少有一点 ( a b ) ,使得函数 f ( x ) 在该点的导数等于零，
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第一章 实数集与函数
第七章 实数的完备性 第八章 不定积分 第九章 定积分 第十章 定积分的应用 第十一章 反常积分
第二章 数列极限
第三章 函数极限
第四章 函数的连续性
第五章 导数和微分 第六章 微分中值定理及其应用
第一章 实数集不函数
1 实数
2 数集确界原理
3 函数概念
4 具有某些特性的函数
第二章 数列极限
拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理
( 2) (1)
如果函数 f(x)在
闭区间[a , b]上连续,在开区间( a , b ) 内可导,那末在
( a , b ) 内至少有一点( a Biblioteka Baidu b ) ，使等式
f ( b ) f ( a ) f ' ( )( b a ) 成立.
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2 无穷积分的性质不收敛判别 3 暇积分的性质不收敛判别
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定义
如果当 x a (或 x ) 时，两个函数
f ( x ) 与 F ( x ) 都趋于零或都趋于无穷 大，那末 极限 lim f ( x) 可能存在、也可能不存 在．通 x a F ( x) ( x )
0 常把这种极限称为 或 型未定式. 0 ln sin ax tan x 0 lim , ( ) lim ,( ) x 0 ln sin bx 例如, x0 x 0
F ' ( x ) 在( a , b ) 内每一点处均不为零，那末在 a , b ) 内 (
至少有一点 ( a b ) ,使等式 f (b) f (a ) f ' ( ) 成立. F ( b ) F ( a ) F ' ( )
洛比达法则
0 一、 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
g
0 型
f g f 1 g
泰勒公式
带有佩亚诺型余式的泰勒公式 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 近似计算上的应用
带有佩亚诺型余式的泰勒公式
定理 6.9
带有拉格朗日型余项的泰勒公式
近似计算上的应用
第七章 实数的完备性
1 关于实数完备性的基本定理
2 上极限和下极限
第八章 不定积分
1 不定积分概念与基本积分公式 2 换元积分法与分部积分法 3有理函数和可化为有理函数的不定积分
定理
设 (1) 当 x 0时,函数 f ( x ) 及 F ( x ) 都趋于零; ( 2) 在 a 点的某去心邻域内 f ( x )及 F ( x ) 都存在 , 且 F ( x ) 0; f ( x ) ( 3) lim 存在(或为无穷大); x a F ( x ) f ( x) f ( x ) 那末 lim lim . x a F ( x ) x a F ( x )
注意 : 与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a ) f (b).
结论亦可写成
f (b) f (a ) f ( ). ba
2 柯西中值定理和丌定式极限
一 柯西中值定理 二 丌定式极限
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x ) 及F ( x ) 在 闭 区 间[a , b] 上 连 续 , 在 开 区 间( a , b ) 内 可 导 , 且
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