二维随机变量及独立性--教学设计
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概率论与数理统计教学设计
不大于实数y 的概率,并把联合分布函数记为(,)F x y ,即
(,)(,),,F x y P X x Y y x y =≤≤-∞<<+∞-∞<<+∞.
3.联合分布函数的性质 (1) 0(,)1F x y ≤≤;
(2 ) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的非减函数; (3) (,)0,(,)0
lim lim x y F x y F x y →-∞
→-∞
==,
(,)0,(,)1
lim lim x x y y F x y F x y →-∞→+∞→-∞
→+∞
==;
(4) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的右连续函数; (5)
121222211211(,)(,)(,)(,)(,)
P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+.
例题:设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为
(,)(arctan )(arctan )F x y A B x C y =++
求:常数,,(,)A B C x y -∞<<+∞-∞<<+∞ 解:由分布函数(,)F x y 的性质得:
lim (arctan )(arctan )()()1
22
lim (arctan )(arctan )()(arctan )0
2lim (arctan )(arctan )(arctan )()02
x y x y A B x C y A B C A B x C y A B C y A B x C y A B x C ππ
π
π
→+∞
→+∞
→-∞→-∞++=++=++=-+=++=+-=
由以上三式可解得:2
1
,,2
2
A B C π
π
π
===
教师给予引导,回归到刚提出的问题上。
二维离散型随机变量及联合概率函数(10分)4.二维离散型随机变量及联合概率函数
如果二维随机变量(,)
X Y仅可能取有限个或可列
无限个值,那么,称(,)
X Y为二维离散型随机变量.
二维离散型随机变量(,)
X Y的分布可用下列联合
分布率来表示:
(,),,1,2,,
i j ij
P X a Y b p i j
====L
其中,
0,,1,2,,1
ij ij
i j
p i j p
≥==
∑∑
L
.
也可用下边的概率分布表表示:
X Y1y L j y L
()
i
P X x
=
1
x
11
p L1j p L1j
j
p
∑
M M L M L M
i
x
1i
p L ij p L ij
j
p
∑
M M L M L
()
j
P Y y
=1i
i
p
∑
L ij
i
p
∑
L 1
通过引导及
具体的例题
展现二维离
散型随机变
量。
二维连续型随机变量及联合概率密度(20分)5.二维连续型随机变量及联合概率密度
(1)对于二维随机变量(X,Y)的分布函数(,)
F x y,
如果存在一个二元非负函数(,)
f x y,使得对于任意一
对实数(,)
x y有
(,)(,)
x y
F x y f s t dtds
-∞-∞
=⎰⎰
成立,则(,)
X Y为二维连续型随机变量,(,)
f x y为二
维连续型随机变量的联合概率密度.
(2)二维连续型随机变量及联合概率密度的性质
①(,)0,,
f x y x y
≥-∞<<+∞;
②
(,)1
f x y dxdy
+∞+∞
-∞-∞
=
⎰⎰
;
③设(,)
X Y为二维连续型随机变量,则对任意一
条平面曲线L,有((,))0
P X Y L
∈=;’
④在(,)
f x y的连续点处有
2(,)
(,)
F x y
f x y
x y
∂
=
∂∂;
⑤设(,)
X Y为二维连续型随机变量,则对平面上
任一区域D有
((,))(,)
D
P X Y D f x y dxdy
∈=⎰⎰
例.求在D上服从均匀分布的随机变量(X,Y)的密
度函数和分布函数,其中D为x轴、y轴及直线y=2x+1
围城的三角形区域。
解:如图,区域D为直角三角形RT△OAB,其面积
为:
111
1
224
OAB
S=⨯⨯=
V
所以由均匀分布的定义可得,(X,Y)的联合密度函
数为:
4,(,)
(,)
0,
x y D
f x y
∈
⎧
=⎨
⎩其他
下面来求(X,Y)的分布函数,
通过引导及
具体的例题
展现二维连
续型随机变
量。