二维随机变量及独立性--教学设计

概率论与数理统计教学设计

不大于实数y 的概率，并把联合分布函数记为(,)F x y ，即

(,)(,),,F x y P X x Y y x y =≤≤-∞<<+∞-∞<<+∞．

3．联合分布函数的性质 (1) 0(,)1F x y ≤≤；

(2 ) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的非减函数； (3) (,)0,(,)0

lim lim x y F x y F x y →-∞

→-∞

==，

(,)0,(,)1

lim lim x x y y F x y F x y →-∞→+∞→-∞

→+∞

==；

(4) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的右连续函数； (5)

121222211211(,)(,)(,)(,)(,)

P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+．

例题：设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为

(,)(arctan )(arctan )F x y A B x C y =++

求：常数,,(,)A B C x y -∞<<+∞-∞<<+∞ 解：由分布函数(,)F x y 的性质得：

lim (arctan )(arctan )()()1

22

lim (arctan )(arctan )()(arctan )0

2lim (arctan )(arctan )(arctan )()02

x y x y A B x C y A B C A B x C y A B C y A B x C y A B x C ππ

π

π

→+∞

→+∞

→-∞→-∞++=++=++=-+=++=+-=

由以上三式可解得：2

1

,,2

2

A B C π

π

π

===

教师给予引导，回归到刚提出的问题上。

二维离散型随机变量及联合概率函数（10分）4.二维离散型随机变量及联合概率函数

如果二维随机变量(,)

X Y仅可能取有限个或可列

无限个值，那么，称(,)

X Y为二维离散型随机变量．

二维离散型随机变量(,)

X Y的分布可用下列联合

分布率来表示：

(,),,1,2,,

i j ij

P X a Y b p i j

====L

其中，

0,,1,2,,1

ij ij

i j

p i j p

≥==

∑∑

L

．

也可用下边的概率分布表表示：

X Y1y L j y L

()

i

P X x

=

1

x

11

p L1j p L1j

j

p

∑

M M L M L M

i

x

1i

p L ij p L ij

j

p

∑

M M L M L

()

j

P Y y

=1i

i

p

∑

L ij

i

p

∑

L 1

通过引导及

具体的例题

展现二维离

散型随机变

量。

二维连续型随机变量及联合概率密度（20分）5.二维连续型随机变量及联合概率密度

（1）对于二维随机变量(X，Y)的分布函数(,)

F x y，

如果存在一个二元非负函数(,)

f x y，使得对于任意一

对实数(,)

x y有

(,)(,)

x y

F x y f s t dtds

-∞-∞

=⎰⎰

成立，则(,)

X Y为二维连续型随机变量，(,)

f x y为二

维连续型随机变量的联合概率密度．

（2）二维连续型随机变量及联合概率密度的性质

①(,)0,,

f x y x y

≥-∞<<+∞；

②

(,)1

f x y dxdy

+∞+∞

-∞-∞

=

⎰⎰

；

③设(,)

X Y为二维连续型随机变量，则对任意一

条平面曲线L，有((,))0

P X Y L

∈=；’

④在(,)

f x y的连续点处有

2(,)

(,)

F x y

f x y

x y

∂

=

∂∂;

⑤设(,)

X Y为二维连续型随机变量，则对平面上

任一区域D有

((,))(,)

D

P X Y D f x y dxdy

∈=⎰⎰

例.求在D上服从均匀分布的随机变量（X,Y）的密

度函数和分布函数，其中D为x轴、y轴及直线y=2x+1

围城的三角形区域。

解：如图，区域D为直角三角形RT△OAB，其面积

为：

111

1

224

OAB

S=⨯⨯=

V

所以由均匀分布的定义可得，（X,Y）的联合密度函

数为：

4,(,)

(,)

0,

x y D

f x y

∈

⎧

=⎨

⎩其他

下面来求（X,Y）的分布函数，

通过引导及

具体的例题

展现二维连

续型随机变

量。