2017年26省份超级全能生联考答案

2017年26省份超级全能生联考
注意事项．
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人得分
一、选择题（题型注释）
1、学习为了奖励数学竞赛中获奖的优秀学生，将梅、兰、竹、菊四幅名画送给获奖的甲、乙、丙三位学生，每个学生至少获得一幅，则在所有送法中甲得到名画“竹”的概率是（）
A．B．C．D．
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】C
【解析】由题意可知总方法数，先分3组，，再分配=6，由分步计数原理可知总方法数，满足条件方法数，概率。

选C.
2、已知集合，则（）A．B．C．D．
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】D
【解析】由题意得，所以
=，选D.
3、下列说法正确的是（）
A．命题“若，则.”的否命题是“若，则.”B．是函数在定义域上单调递增的充分不必要条件
C．
D．若命题，则
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】D
【解析】“若p则q”的否命题是“若则”，所以A错。

在定义上并不是单调递增函数，所以B错。

不存在，C错。

全称性命题的否定是特称性命题，D对，选D.
4、《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的一段话“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”用程序框图表示如图，那么这个程序的作用是（）
A．求两个正数的最小公倍数B．求两个正数的最大公约数
C．判断其中一个正数是否能被另一个正数整
D．判断两个正数是否相等
除
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】B
【解析】这是更相减损术，是用来求两个正数的最大公约数，选B.
5、在中，分别是角的对应边，若，则下列式子正确的是（）
A．B．C．D．
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】C
【解析】由题意可知,由余弦定理
,所以,即,选C.
6、在中，是的中点，在上，且
，则（）
A．B．C．D．
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】A
【解析】如下图，以B为原点，BA,BC分别为x,y轴建立平面坐标系A(4,0),B（0，0），C（0，6），D(2,3),设E(0,t),,即，。

选A.
7、已知是虚数单位，复数，则的虚部为（）
A．B．C．D．
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】C
【解析】由题意可得，选
C.
8、一个几何的三视图如图所示，则表面积为（）
A ．
B ．或
C ．或
D．
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】B
【解析】如下图，三视图还原，有两种可能，图1为一个边长为3正方体切去一个左上角，图2为一个边长为3正方体切去一个左上角，一下右下角。

图1的表面积为
，图2的表面积为。

选B.
9、已知是双曲线的右焦点，是轴正半轴上一点，以
为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点（为坐标原点）.若点
三点共线，且的面积是的面积的倍，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】D
【解析】由题意可得，
,即
，选D.
10、若正四棱锥内接于球，且底面过球心，设正四棱锥
的高为，则球的体积为（）
A．B．C．D．
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】A
【解析】由题意可得，正方形ABCD的外接圆是大圆，所以半径为1，。

选A.
11、已知正的边长为，在平面中，动点满足是的中点，则线段的最小值为（）
B．C．D．
A．
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】A
【解析】如下图，以A点为原点，建立坐标系，
，M(x,y),由是的中点，可知
，得，即点M轨迹满足圆的方程,圆心。

所以，选A.
【点睛】圆上的动点与圆外一定点线段上的比例点的轨迹是圆。

12、已知向量，函数，且，若
的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】B
【解析】,,由，得
，,由对称轴
,假设对称轴在区间内，可知
当k=1,2，3时，，现不属于区间，所以上面的并集在全集中做补集，得
，选B.
【点睛】
对于否定性，或完全肯定性的命题，经常用补集思想来做，要注意全集的选择。

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二、填空题（题型注释）
13、若的二项展开式中的的系数为，则__________．
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】1
【解析】，所以9-3r="6," r=1,=9,,t填1.
14、若实数满足则的取值范围为__________．
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】
【解析】画出可行域，如下图，目标函数为可行域上点与（0,0）点连线的斜率，从图上可以看出斜率，填。

15、已知椭圆与圆，过椭圆
的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点（不同于点），则直线与直线的斜率之积等于__________．
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】1
【解析】圆心为M,P，设切线为,由到直线距离
，填1.
16、若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________．
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】
【解析】由式子可知，显然，在上恒成立，
即存在，，则，在上恒成立，
令
在单调递增，
,
当，即，g(x)在上单调递增，，解得，
当，即，g(x)在上单调递减，在上单调递增。

，解得,即
当，即，g(x)在上单调递减，，解得b>0,
综上所述，,填。

【点睛】本题考查转化思想、分类讨论法，对于多个变量要理解透题目的本意，本题以参数在不等式中有解，从而求的b的范围。

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三、解答题（题型注释）
17、已知正项数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）式中令n=1,求得，n用n-1代，得
，两式作差可得，可求得。

（2）由（1），由错位相减法可求和。

试题解析：（1）设数列的前项和为.
当时，，
当时，，
两式相减得，
即，
又，
数列的首项为，公差为的等差数列，即.
（2）
，①
，②
①-②得
，
18、如图，四边形为等腰梯形，，将沿折起，使得平面平面，为的中点，连接.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）由边的关系，可知是两锐角为的等腰三角形，
是的直角三角形。

所以由平面平面，可证，即证。

（2）取中点，连接，易得
两两垂直，以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由空间向量法可求的线面角。

试题解析：（1）证明：在图中，作于，则，又
，平面平面，且平面平面，平面，
又平面，
.
（2）取中点，连接，易得两两垂直，以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，
设为平面的法向量，则
，即，
取，则.
设直线与平面所成的角为，
则，
直线与平面所成的角的正弦值为.
19、某研究小组为了研究某品牌智能手机在正常使用情况下的电池供电时间，分别从该品牌手机的甲、乙两种型号中各选取部进行测试，其结果如下：
甲种手机供电时间
（小时）
乙种手机供电时间
（小时）
（1）求甲、乙两种手机供电时间的平均值与方差，并判断哪种手机电池质量好；
（2）为了进一步研究乙种手机的电池性能，从上述部乙种手机中随机抽取部，记所抽部手机供电时间不小于小时的个数为，求的分布列和数学期望.
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】（1）甲种手机电池质量更好(2)
【解析】试题分析：（1）由平均值公式和方差公式
分别求平均值与方差，得== =甲的稳定性更好，甲质量更好。

（2）部乙种手机供电时间不小于
小时的有部，小于小时的有部，所以由求的分布列和期望。

试题解析：（1）甲的平均值，
乙的平均值，
甲的方差
乙的方差
因为甲、乙两种手机的平均数相同，甲的方差比乙的方差小，所以认为甲种手机电池质量更好.
（2）部乙种手机供电时间不小于小时的有部，小于小时的有部，所以得可能取值为，则
，
故得分布列为
所以.
20、已知椭圆过点，其离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与相交于两点，在轴上是否存在点，使为正三角形，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）由，和过点，可求得a,b,c，和椭圆标准方程。

（2）由（1）可知椭圆方程，直线代入椭圆方程
，消y得，由韦达定理和弦长公式表示出|AB|,再由
韦达定理和C点（由AB的垂直平分线方程中令x=0求得）到直线距离求得d,然后令，解出m，再检验判别式，可解。

试题解析：（1）由已知得，解得.
椭圆的方程为.
（2）把代入的方程得，
设，则，
，
设的中点为，则
，令，则，
由题意可知，
，解得.符合，
直线的方程为.
21、已知函数.
（1）若函数的最小值为，求实数的值；
（2）当时，求证：.
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：（1）对函数f(x)求导可得，的根为，在上单调递减，在上单调递增，所以
.
可解。

（2）考虑到f(x)与g(x)不个对数型，一个指数型，所以利用导数分别求出g(x)的最大值与f(x)的最小值，如果，据证。

试题解析：（1），
由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增.
.
.
（2）证明：当时，由（1）知，即.
，则，
由，得，由，得，
在上单调递增，在上单调递减.
，
，即.
22、选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标分别为.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）若为圆上的一动点，求的取值范围.
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）由圆的参数方程，根据消参可得圆的标准方程，再由
，可得圆的极坐标方程。

（2）由圆的参数方程可设点，又和两点间距离公式代入，可求得
，可解。

试题解析：（1）把圆的参数方程化为普通方程为，即
，
由，
得圆的极坐标方程为.
（2）设的直角坐标分别为，
则
所以的取值范围为.
23、选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意恒成立，求的最小值.
来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题
【答案】（1）或（2）
【解析】试题分析：（1）写出分段函数，再分段讨论解不等式。

（2）即求f(x)的最小值，由（1）中分段函数可知最小值为，即，由于，所以
，再由重要不等式，可解。

试题解析：（1），或或解得或
的解集为或.
（2）由图知.，
即，当且仅当时等号成立，，解得，当且仅当时等号成立
故的最小值为.。