高一数学(指、对数函数与反函数)

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知识探究（ 知识探究（一）：反函数的概念 思考1:设某物体以3m/s 3m/s的速度作匀速直 思考1:设某物体以3m/s的速度作匀速直
线运动，分别以位移s和时间t为自变量， 线运动，分别以位移s和时间t为自变量， 可以得到哪两个函数？ 可以得到哪两个函数？这两个函数相同 吗？ s t = 和s=3t 得到 3 x 思考2: 分别x 思考2:设 2 = y ，分别x、y为自变量可以 得到哪两个函数？这两个函数相同吗？ 得到哪两个函数？这两个函数相同吗？
练习 2. 函数 ＝3x的图象与函数 ＝3x的 函数y＝ 的图象与函数y＝ 的 图象关于
3x
(D ) B. x轴对称 轴对称 D. 直线 ＝x对称 直线y＝ 对称
A. y轴对称 轴对称 C. 原点对称
函数f(x)＝loga (x－1)(a＞0且a≠1) 例3 函数 ＝ － ＞ 且 的反函数的图象经过点(1, ， 的值. 的反函数的图象经过点 4)，求a的值 的值 依题意,得 解:依题意 得 依题意
x
解 : (1)1 − 2 > 0 ⇒ 2 < 1 ⇒ x < 0 ⇒ 定义域 定义域(-∞,0)
x x
2 > 0 ⇒ −2 < 0 ⇒ 1 − 2 < 1 ⇒ log 2 (1 − 2 ) < 0
x x x x
(2) y = log 2 (1 − 2 ) ⇒ 1 − 2 = 2 ⇒ 2 = 1 − 2
1 = log a (4 − 1)
即 : log a 3 = 1,∴ a = 3.
若函数y＝ 的图象经过点 的图象经过点(a, ， 小 结：若函数 ＝f(x)的图象经过点 b)， 则其反函数的图象经过点(b, 则其反函数的图象经过点 a).
依题意,得 解:依题意 得: 依题意
若点P 同时在函数y 例4 若点P（1，2）同时在函数y＝ 及其反函数的图象上， ax + b 及其反函数的图象上，求a、b 的值. 的值. 2 = a ×1 + b
y = 2 和y = log 2 x
x
思考3:我们把具有上述特征的两个函数 思考3:我们把具有上述特征的两个函数 3: 互称为反函数，那么函数y＝ax（a＞0， 互称为反函数，那么函数y 反函数 且a≠1）的反函数是什么？函数 y = 2 x + 1 a≠1）的反函数是什么？ 的反函数是什么？ 的反函数是什么？ x y = a (a > 0, 且a ≠ 1)的反函数是 :
x −1
+ 2; (4) y = log 1 ( x + 4).
x −1
x −1
+2⇒3
= y − 2 ⇒ x − 1 = log 3 ( y − 2)
2
⇒ x = log 3 ( y − 2) + 1. ∴ y = 3 x −1 + 2的反函数为 : y = log 3 ( x − 2) + 1( x > 2).
知识探究(二 知识探究 二): 指、对数函数的比较分析
思考1:当 1 思考1:当a>1时，指、对数函数的图象 1: 和性质如下表：你能发现这两个函数 和性质如下表： 有什么内在联系吗？ 有什么内在联系吗？
y=ax (a>1) 图象 定义域 值域 性质
y 1 0 x
y=logax(a>1)
y 0 1 x
y = log 4 x( x > 0)
x
y = log 0.25 x( x > 0)
(3) y＝( 2 ) (x∈R) (4) y＝lgx (x＞0) ＝ ∈ ＝ ＞
y = log
2
x ( x > 0)
y = 10 ( x ∈ R )
x
例2 已知函数 f ( x) = log 2 (1 − 2 ) . 求函数f(x)的定义域和值域； f(x)的定义域和值域 （1）求函数f(x)的定义域和值域； 求证函数y=f(x) y=f(x)的图象关于直线 （2）求证函数y=f(x)的图象关于直线 y=x对称 对称. y=x对称.
思考3:函数y = 1-x , 思考3:函数y 13:函数
1 y= x
的反函数
分别是什么？由此推测：如果函数 分别是什么？由此推测： y=f(x)的图象关于直线y= x对称，则 y=f(x)的图象关于直线y= x对称， 的图象关于直线 对称 函数f(x)与其反函数有什么关系？ 函数f(x)与其反函数有什么关系？ f(x)与其反函数有什么关系 y=1-x的反函数是y=1-x y=1-x y=1-x 1 1 y= 的反函数是 y = x x
1= a×2+b
a = −3; b = 7.
a+b = 4 2a + b = 1
课堂小结
1. 反函数的定义；求反函数的步骤； 反函数的定义；求反函数的步骤； 2. 互为反函数的函数图象间关系； 互为反函数的函数图象间关系； 3. 互为反函数的两个函数具有相同的 增减性． 增减性．
作业： 作业： 习题2 P75 习题2.2B组:4，5.
1 1 y = 2 x + 1的反函数是 : y = x − . 2 2
小结:求反函数的一般步骤分三步 小结 求反函数的一般步骤分三步 一解、二换、三注明． 一解、二换、三注明．
y = log a x(a > 0, 且a ≠ 1)
思考4:在函数y 若将y作自变量， 思考4:在函数y＝x2中，若将y作自变量， 4:在函数 那么x 的对应关系是函数吗？为什么？ 那么x与y的对应关系是函数吗？为什么？
x x y x y
所以,函数 的值域为(-∞,0) 所以 函数f(x)的值域为 函数 的值域为
y x
⇒ x = log 2 (1 − 2 ) ⇒ f ( x)的反函数y = log 2 (1 − 2 ).
的反函数与原函数相等,故结论成立 因f(x)的反函数与原函数相等 故结论成立 的反函数与原函数相等 故结论成立.
函数f(x)与其反函数相等 与其反函数相等 函数
理论迁移
例1 求下列函数的反函数
(1) y = 3 x − 1, (2) y = x + 1( x ≥ 0)
1 1 解 : (1) y = 3 x − 1 ⇒ 3 x = y + 1 ⇒ x = y + . 3 3 1 1 所以 , y = 3 x − 1的反函数是y = x + . 3 3
1 y 1 y ( 4) y = log 1 ( x + 4) ⇒ x + 4 = ( ) ⇒ x = ( ) − 4 2 2 2
1 x ∴ y = log 1 ( x + 4)的反函数为 : y = ( ) − 4. 2 2
练习 1. 求下列函数的反函数 (1) y＝4x (x∈R) ∈ ＝ (2) y＝0.25x (x∈R) ∈ ＝
R
(0, +∞)
R
当x>1时y>0； 1 0 当0<x<1时y<0； 1 0 x=1时y=0； 当x=1时y=0； 上是减函数. 在R上是减函数.
(0, +∞)
当x>0时y>1； 0 1 当x<0时0<y<1； 0 y 1 当x=0时y=1； x=0时y=1； 上是增函数. 在R上是增函数.
思考2:一般地，原函数与反函数的定义 思考2:一般地， 2:一般地 域、值域有什么关系？函数图象之间有 值域有什么关系？ 什么关系？单调性有什么关系？ 什么关系？单调性有什么关系？ 原函数的定义域就是反函数的值域, 原函数的定义域就是反函数的值域 原函数的值域是反函数的定义域,它 原函数的值域是反函数的定义域 它 们的图象关于直线y=x对称 原函数与 对称,原函数与 们的图象关于直线 对称 的单调性. 反函数具有相同的单调性
不是,因为当 有两个值1与 和它对应 和它对应. 不是 因为当y=1时,x有两个值 与-1和它对应 因为当 时 有两个值
思考5:一个函数在其对应形式上有一对一 思考5:一个函数在其对应形式上有一对一 5: 和多对一两种， 和多对一两种，那么在哪种对应下的函数 才存在反函数？ 才存在反函数？
在一对一的情况下,才存在反函数 在一对一的情况下 才存在反函数. 才存在反函数
2.2.2 第三课时
对数函数及其性质 指、对数函数与反函数
问题提出 设a＞0，且a≠1为常数， = s.若以 a≠1为常数， 为常数 a 为自变量可得指数函数y 若以s t为自变量可得指数函数y＝ax，若以s 为自变量可得对数函数y 为自变量可得对数函数y＝logax. 这两 个函数之间的关系如何进一步进行数学 解释？ 解释？
(2) y = x + 1( x ≥ 0) ⇒ x = y − 1( y ≥ 1) ⇒ x = ( y − 1) 2 ( y ≥ 1) ⇒ y = x + 1( x ≥ 0)的反函数是 : y = ( x − 1) ( x ≥ 1).
2
例1 求下列函数的反函数
(3) y = 3
解 : (3) y = 3