生物神经元系统放电活动和网络行为的非线性动力学研究

◆基金项目：国家自然科学基金项目（10432010,10702002） ★

E-mail: qishaolu@, yangzhuoqin@

生物神经元系统放电活动和网络行为

的非线性动力学研究◆

陆启韶1,★ 杨卓琴2

1

北京航空航天大学动力学与控制研究室，北京 100083

2

北京航空航天大学数学系，北京100083

摘要 生物神经系统是由数量极其巨大的神经元相互联结的信息网络系统，在生物体的感觉、认知和运动控制中发挥关键性的作用。本文介绍神经元系统放电和网络动态特性的一些重要的问题， 包括神经元的复杂放电模式、耦合神经元网络系统的同步活动和时空动力学、神经细胞的钙振荡和波动等，并对今后研究给出一些展望。 。

关键词 神经元，网络，放电模式，钙振荡，同步，时空动力学，分岔

Nonlinear Dynamics Research on Firing and Network Behavior of Biological

Neuronal Systems

Lu Qi-Shao 1 Yang Zhuo-Qin 2

1

Department of Dynamics and Control, Beihang University, Beijing 100083, China

2

Department of Mathematics, Beihang University, Beijing 100083, China

Abstract Biological nervous systems are information networks with numerous connected neurons and play a key role in sense, recognition and motion control of biological bodies. This paper concerns some important topics of firing and network dynamical behavior, including complex firing patterns of neurons, synchronization and spatiotemporal dynamics of coupled neuronal networks, Calcium oscillations and waves in neural cells, etc., as well as prospective developments.

Key words Neuron, Network, Firing Pattern, Calcium Oscillation, Synchronization, Spatiotemporal Dynamics, Bifurcation

1 引言

生物神经系统是由数量巨大的神经细胞相互联

结组成的，具有极其复杂结构的信息网络系统，包括各种感受器官和中枢神经系统。它承担着感受外界刺激，产生、处理、传导和整合信号，进行高级认知功能活动（如学习、思维、记忆、情绪等），以及从事运动控制等重要功能。总之，脑和神经系统是生物体活动的司令部和信息中心，是生物体的关键性器官系统之一。目前，对于神经系统的解剖学和生理学研究取得重要成果，并且迅速推向细胞和分子水平，使得人们对神经系统的生理结构、神经信号发生和传导的电生理过程、运转方式和功能特性都有了全新的认识，

但是对于神经活动的复杂机理的本质认识还是很初步的，为此，多学科、多层次的深入综合性研究是神经科学发展的重要趋势，而以脑科学为核心的神经科学已经成为21世纪国际科学技术研究的主要前沿领域之一，正在酝酿着新的重大突破。

生物神经系统活动有两个重要特点。首先，神经元在神经活动中起着重要的基本作用。神经系统的放电活动主要表现为神经元产生和传输动作电位脉冲串的过程，神经信息编码又是通过放电脉冲串的时间节律和振荡模式反映的；其次，神经系统的信息传导和整合过程是通过极其复杂的多层次的网络实现的，因此神经系统的网络行为与其信息活动和认知功能密切相关。本文将就这两方面介绍神经元系统放电和网络动态特性的一些重要的问题，包括神经元的复杂放电

第 34 页

模式、耦合神经元网络系统的同步活动和时空动力学、神经细胞的钙振荡和波动等，并对今后研究给出一些展望。

2神经元的放电模式研究

神经元是神经系统的结构和功能单元，神经元放电活动在神经功能中起着重要的基本作用。神经信息活动首先表现为神经元产生和传输动作电位脉冲串（即膜电位的张弛振荡）的过程，神经信息编码是通过神经元放电脉冲的时间节律（Interspike Intervals）和振荡性态反映的。神经元是高度非线性的系统，其放电活动涉及复杂的物理、化学过程以及受到大量内、外因素的影响，从而存在极其丰富的放电模式。长期以来，人们通过神经细胞、感受器和大脑等的电生理实验积累了大量的实验资料。今后需要进一步从细胞生物学、生物物理和生物化学等角度，对神经元放电活动的细观和微观过程进行全面、系统、深入的理论和实验研究。

20世纪50年代，Hodgkin和Huxley基于生物电化学理论和实验资料，在理论上提出了关于神经元放电的著名的HH模型，揭示了神经电生理活动的电化学机制[1]。此后，人们在HH模型基础上陆续提出不少简化或改进模型，如FHN模型、HR模型、ML模型、Rinzel模型、Chay模型等[2-4]。它们适用于不同类型的神经元具体情况，有些还考虑到较多的影响因素（如Ca离子通道等），可以进行更广泛的理论和数值模拟研究。在神经模型的数值模拟和实验结果中，发现了周期、拟周期、混沌、阵发、整数倍等一系列放电节律模式和相应的离子电导过程。此外，真实的神经系统总是处在内外噪声共存的环境，噪声主要来源于分子热涨落、神经递质的随机释放、离子通道的随机切换和突触流的随机输入等。20世纪90年代以来，人们进一步通过实验和理论研究，发现神经元可以在弱的内、外噪声环境下，由于随机共振或随机自共振机制诱发出整数倍节律、加周期节律等多种放电行为，表明噪声在神经系统放电活动中有着重要的影响[5-9]。上述大量研究充分表明了神经电活动的高度非线性和复杂性，为神经编码研究提供了新的观点和思路，并开辟了利用非线性动力学理论和方法进行神经科学研究的崭新道路。但是由于神经元本身的复杂性，这些模型还是初步的和有很大的局限性，因此仍然需要根据不同问题的性质，建立更多、更有效的神经元模型去开展理论研究。

神经元放电活动主要有峰放电和簇放电两种模式，其中簇放电由于其多样性和复杂性而在神经信息编码方式中起着关键作用。簇放电模式的动力学行为可表现为静息状态与反复放电状态的相互转迁，这是膜电位或钙离子浓度的慢变过程调节快变的神经放电活动的结果。实际的神经元放电活动的簇放电类型和动力学行为是多种多样的，且导致不同类型簇放电模式的神经元性质也是完全不同的，在许多神经电生理实验以及理论研究中对此均有所探讨。Rinzel首次对簇放电模式作出了系统的理论分析，认识到慢变参数对快变量的调节作用，从而引起了快变动力学的静息状态和振荡状态的相互转迁。他还首次给簇放电进行分类，提出了方波形、抛物形和椭圆形等不同簇放电模式。Bertram 等用罗马数字表示这三种簇放电类型，即I型、II型和 III型，并增加了IV型簇放电模式。后来De Vries将锥形簇放电命名为V型簇放电模式。Rush和Rinzel 探讨了三角形（triangular）的簇放电模式，并将其列为VI型簇放电模式[10-12]。

上面的分类方法虽可大致将神经元簇放电分为不同的几种类型，但却不足以辨别具有更细微区别的更多不同类型的簇放电模式，为此需要进一步通过在簇放电中起关键作用的不同分岔过程去揭示簇放电的内在动力学性质。Izhikevich在前人的工作基础上，考虑了与簇放电的静息状态和放电状态有关的所有分岔，提出更为全面完整的理论分类方法，即所谓“top-down” 快慢动力学分岔分析方法 [13]。在神经元放电动力学行为研究中，具有簇放电模式的神经元数学模型通常可以写成奇异摄动形式。当慢变量作为分岔参数时，描述快变量的子系统存在与簇放电性质有关的两类重要的分岔：静息状态转迁到放电状态的分岔（即产生放电状态的分岔）；放电状态转迁到静息状态的分岔（即结束放电状态的分岔）。这两类分岔明确反映了连续放电尖峰的产生机理与慢变动力学之间的相互作用，揭示了簇放电产生的动力学本质特性，成为对簇放电模式进行分类的基本依据。除了上述这两种与簇放电状态产生或结束直接有关的分岔外，可能还存在与静息状态或放电状态有关的其他分岔，它们的共同作用导致滞后环的产生，从而引起了不同簇放电模式的出现。因此，需要考虑在快变量子系统中所存在的与滞后环产生有关的各种分岔：即从簇放电的下状态转迁到上状态的分岔和从簇放电的上状态转迁到下状态的分岔。另外，如果快子系统不存在相应于放电状态的放电尖峰的稳定极限环，则由两个静息状态 —— “上状态（up-state）”与“下状态（down-state）”构成一个点-点滞后环，而且这个点-点滞后环自身也可表现出簇放电的动力学性质。总而言之，我们需要通过快慢

第 35 页