第5章 一阶电路分析

解：先写出电容电流的数学表达式：
1( A) iC (t ) = i S (t ) = 0 0 < t <1 t >1
根据电容的VCR的积分形式，得：
0 ≤ t <1
t ≥1
1 t u C (t ) = u C (0) + ∫ iC (ξ ) dξ = (0.5 + 0.5t )(V ) C 0
uL + uR = 0 u R = Ri L di L uL = L dt 或 i L (0 + ) = I 0 t >0
整理得：
L di L + iL = 0 R dt i L (0 + ) = I 0 t>0
从上式可知，RC是一个与时间有关的量，它的量纲应 该是秒。我们称之为电路的时间常数，用τ来表示。 注意到，当t=5τ时，上式有
u C (5τ ) = U 0 e = 0.0067U 0
与稳态相比很小，认为这时电路达到了新的稳态。
−5
电容的零状态响应也称为电容放电，时间常数越小，放 电越快。见图5-21所示。当放电时间等于时间常数时，电容 两端的电压下降到原来的36.8%。有关时间常数的测定可利 用如下式了来确定。
RC电路的零输入响应。所谓的零输入，就是电路没有 激励。对于图5-18所示电路。有：
uC − u R = 0 u R = Ri du C i = −C dt 及 u C (0 + ) = U 0 t>0
上述方程可化为：
du C RC + uC = 0 dt u C (0 + ) = U 0 t>0
电感的符号如图5-8所示。线性时不变电感的磁链与电流的 关系式如下式：
Ψ (t ) = Li (t )
此时，电压与电流取关联方向。其电压与电流关系为：
dΨ di u= =L dt dt (5 − 9)
其积分形式如下式所示：
1 t 1 t0 1 t i (t ) = ∫ u (ξ )dξ = ∫ u (ξ )dξ + ∫ u (ξ )dξ L −∞ L −∞ L t0 1 t = i (t 0 ) + ∫ u (ξ )dξ L t0
第5章 一阶电路分析
5.1 电容元件和电感元件
电容元件是电容器的理想模型。它的定义是：一个二端 元件，在任一时刻t，它所积聚的电荷q(t)与其两端电压u(t)之 间的关系可以用u—q平面上的一条曲线来确定，则该二端元 件为电容元件，简称为电容。 在u—q平面上是一条过原点的直线，称为线性电容，用C 表示。对于线性时不变电容，若电容两端的电流与电压采用关 联方向，则有：
可得到电容的电流。
t<0 0<t <π t >π
0 iC (t ) = 0.5 cos t ( A) 0
1 t 电感的电流由式 i L (t ) ∫−∞ u S (ξ )dξ 确定。 L
0 i L (t ) = 0.5(1 − cos t )( A) 1 t<0 0≤t <π t ≥π
du C (t ) U0 =− dt t =0+ τ 或 u C (t 0 + τ ) = 0.368u C (t 0 )
在整个放电过程中，电阻R消耗的总能量为
2 U 02 uR wR = ∫ + dt = 0 R R ∞
∫ e
0+
∞
−
2 RC
1 dt = CU 02 2
RL电路的零输入响应。RL零输入电路如图5-22所示，在 t<0时，开关K在位置1,电路已经处于稳态，在t=0时开关K由位 置1倒向位置2.根据换路定则 i L (0 + ) = i L (0 − ) = I 0 电感电流断续的R、L回路中流动，最终电流为0。 对于图5-22，换路后有：
于是由电容的电压与电流的关系可求得：
0 − 4 A iC (t ) = 4A 0 t <1 1< t < 2 2<t<4 t>4
瞬时功率为：
0 4(t − 1)W pC (t ) = 4(t − 3)W 0 t <1 1< t < 2 2<t <4 t>4
由 iC (t ) = C
du C (t ) dt
u L (t ) = L
di L (t ) dt
得：
du C (0 + ) iC (0 + ) = = 5V / s dt C
di L (0 + ) u L (0 + ) = =0 dt L
5.3 一阶电路的零输入响应
由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。一般情况下， 电路中只含一种储能元件的电路称为一阶电路。 对于任意一个一阶电路，总可以化为一个电压源串 联一个电阻和一个电容或电感；或一个电流源并联一电 阻后再与电容或电感并联。如图5-17所示。
1 1 1 u (t ) = ∫ i(ξ )dξ + ∫ i(ξ )dξ = u (0) + ∫ i (ξ )dξ C −∞ C0 C0
0 t t
(5 − 5)
u 其中， (0) 称为电容的初始电压。
可以求得电容的储存的能量为：
wC (t ) = 1 2 Cu (t ) 2 (5 − 7)
由于其能量是非负的，所示说电容是一种无源元件。从 能量不能突变也可了解到，实际电容的电压是不能跃变的。
解得：
u 2 (0 + ) = u 3 (0 + ) = u C (0 + ) = 4V u1 (0 + ) = i L (0 + ) R1 = 6V
i2 (0 + ) = u 2 (0 + ) / R2 = 0.2 A i3 (0 + ) = u 3 (0 + ) / R3 = 0.1A
iC (0 + ) = i L (0 + ) − i2 (0 + ) − i3 (0 + ) = −0.1A u L (0 + ) = 10 − u1 (0) − u C (0 + ) = 0V
uS i L (0 ) = = 0.2 A R1 + R2
−
R2 u C (0 ) = u S = 4V R1 + R2
−
在t=0+时刻，有：
u C (0 + ) = u C (0 − ) = 4V i L (0 + ) = i L (0 − ) = 0.2 A
计算其他支路电流可用图5-15电 路。这时运用了替代定理。
储存的能量为：
0 2(1 − t ) 2 ( J ) wC (t ) = 2(t − 3) 2 ( J ) 2( J ) t ≤1 1≤ t ≤ 2 2≤t ≤4 t≥4
由上式可以画出其滤形图，波形图如图5-5所示。
例5-2 图5-6(a)所示电路中，iS(t)波形如图5-6(b)所示，已知 电容C＝2F，初始电压u(0)=0.5V，试求t≥0时电容电容，并 画出其波形。
例5-3 图5-10(a)电路中，uS(t)波形如图5-10(b)所示。试求 iC(t)、iL(t)、iR(t)，并画出它们的波形图。 解：先写出电压源的表达式。
0 u S (t ) = sin t (V ) 0 t<0 0≤t ≤π t >π
由 iC (t ) = C
du C dt
q (t ) = Cu (t ) 或 q (t ) C= u (t ) (5 − 1)
电容的符号如图5-1所示。 电容的单位是法拉（F）， 简称为法，常用的电容单 位有微法（µF），纳法 （nF），皮法（pF）。它 们的关系是：
1 pF = 10 −3 nF = 10 −6 µF = 10 −12 F
例5-1 如图5-4(a)所示电路中，uS(t)波形如图5-4(b)所示，已知 电容C＝4F，求 iC (t ) 、 pC (t ) 、和 wC (t ) ，并画出它们的波形。
解：先写电压的表达式。
0 − t + 1(V ) u C (t ) = u S (t ) = t − 3(V ) 1 t ≤1 1≤ t ≤ 2 2≤t≤4 t≥4
例5-5 电路如图5-16(a)所示，开关K打开前电路处于稳态。当
di L (0 + ) du C (0 + ) t=0时，开关打开。求初始值 iC (0 ), u L (0 ), i1 (0 ), 和 dt dt
+ + +
解：换路前稳态时有：
i L (0 − ) = 10 = 5A 4 // 4 u C (0 − ) = 10V
5.2 换路定则及初始值计算
电路中，电路元件的连接方式或参数突然改变，称为换 路。电阻电路中，电路的激励和响应是线性代数关系，说明 响应和激励具有相同的变化规律。 当电路中含有储能元件时，这种相同的变化规律就不成 立了。因为储能元件的能量是不能突变的。电路从一种状态 到另一种状态要有一个过渡过程，称为瞬态或暂态。
u C (0 + ) = u C (0 − ) i L (0 + ) = i L (0 − )
例5-4 电路如图5-13所示，开关闭合前电路已稳定，已知 uS=10V，R1＝30 ，R2＝20 ，R3＝40 ，t=0开关闭合。试 求开关闭合时各电流、电压的初始值。 解：先计算出电感的电流，电 容的电压的初始值。在换路时 刻，利用替代定理，分别用电 流源代替电感、用电压源代替 电容，然后求其他支路的电流 和电压。
换路时刻，电路如图(b)所示。
i L (0 + ) = i L (0 − ) = 5 A
i1 (0 + ) = u C (0 + ) / 4 = 2.5 A
u C (0 + ) = u C (0 − ) = 10V
u L (0 + ) = 10 − u C (0 + ) = 0
iC (0 + ) = i L (0 + ) − i1 (0 + ) = 2.5 A
(5 − 12)
其中 i(t 0 ) 称为初始电流值。
电感吸收的功率的表达式与电阻、电容相同。 电感储存的能量为：
di (ξ ) 1 2 wL (t ) = ∫ p(ξ )dξ = ∫ i (ξ ) dξ = Li (t ) −∞ −∞ dξ 2
t t
(5 − 14)
同样，电感储存的能量与电流有关，电感是无源元件。 一般情况下，电感的电流同样也不能突变。
1 u C (t ) = u C (1) + C
∫i
1
t
C
(ξ )dξ = 1(V )
其波形图如图(c)所示。
电感元件是电感器的理想化模型。其定义为：一个二端元 件，如果在任一时刻t，它的磁链 Ψ (t ) 与电流i(t)之间的关系 可以用Ψ-i平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电感。 线性电感是过原点的直线。我们讨论线性时不变电感。 电感的单位是亨利（H），常用的单位还有毫亨（mH） 和微亨（µH）。
电容的电压表达式为：
1 u C (t ) = u C (t 0 ) + C
∫
t
t0
iC (ξ ) dξ
令t0=0-，这时有：
1 0+ u C (0 ) = u C (0 ) + ∫ − iC (ξ )dξ C 0
+ −
当电流是有界时，定有：u C (0 + ) = u C (0 − )
同样可以得到电感的电流在换路前后保持不变。换路定 则是指电容的电压、电感的电流在换路时刻保持不变。即：
这是一阶齐次微分方程，其解为：
u C (t ) = u C (0 ) e
+
−
t RC
t≥0
这里取等号主要是电容的电压在换路时刻不能突变。 电流i的表达式为：
t du C U −1 − + i(t ) = −C = −C × u C (0 ) e RC = 0 dt RC R
e
−
t RC
t>0
其波形图如图5-19所示。
电阻的电流为：
0 1 i R (t ) = u S (t ) = 0.5 sin t ( A) R 0 t<0 0≤t ≤π t >π
波形图如下所示。
电容器和电感器的模型。实际运用时，电容器和电感器 会有3种形式；在使用时，除了注意其数值外，还有关注它 的电压额定值和电流额定值。
由电流的定义可得，当电容两端的电压与流过电容的 电流为关联方向时，电容的电压与电流的关系是：
du i=C dt
跃变的。下面看看它的积分形式。
(5 − 2)
上式表明，当电流有限值时，电容两端的电压是不能
1 u (t ) = ∫ i (ξ )dξ C −∞
t
(5 − 4)
说明电容是一种带有“记忆”功能的元件。任一时刻 电容电压并不取决于同一时刻，而是取决于从-∞到t所有时 刻的电流值，即与t以前的电流的全部历史有关。 设置了计时起点后，设t=0为计时起点，则有：