定积分的应用(几何上应用)

7
如果图形是由两条曲线围成
微 元 法:
y
y f2(x)
(1)取x为积分变量
a xb
y f1( x) o a x x x b x
(2)在典型区间[x, x x]求微元
dA [ f2( x) f1( x)]dx
(3)积分
曲边梯形的面积
A
b
a[
f2
(
x)
f1( x)]dx
8
一般地 设两条连续曲线 y f1( x), y f2( x) 与直线 x a , x b (a b) 所围平面图形面积为
关的量；
（ 2 ） U 对 于 区 间 a, b具 有 可 加 性 ， 就 是 说，如果把区间a, b分成许多部分区间，则
U 相应地分成许多部分量，而 U 等于所有部
分量之和；
（3）部分量Ui 的近似值可表示为 f (i )xi ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 U
5
元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间[a, b] ； 2)在[a, b]内考虑典型区间[x, x x], 求微元
实际求面积A的方法:
(1)选取x为积分变量, a x b.
(2)在典型区间[x, x dx]上作近似 A f ( x)dx
即
dA f ( x)dx ___面积元素
(3)对面积元素从a到b积分
b
A a f ( x)dx
4
问题: 什么样的量可以用定积分表示? 当所求量U 符合下列条件：
（1）U 是与一个变量 x的变化区间a, b有
图形面积
dU f ( x)dx
3)将微元从a到b积分
b
U a f ( x)dx 这个方法通常叫做元素法． 应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧 长；功；水压力；引力和平均值等．
6Hale Waihona Puke Baidu
第一节 平面图形的面积
1、直角坐标系情形
y y f (x)
o a x x x b x 曲边梯形的面积
A
b
a
f
(
x)dx
y x2
y x3 6x
选 x 为积分变量 x [2, 3]
(1) x [2, 0], dA1 ( x3 6x x2 )dx (2) x [0,3], dA2 ( x2 x3 6x)dx
11
于是所求面积 A A1 A2
A
0
2
(
x3
6x
x
2
)dx
3
0
(x
2
x3
6
x)dx
253. 12
Ai f (i )xi
xi xi xi1, o a x1
b xi1 xi xn1
x
i为[ xi1, xi ]上任一点
3、 求 和
n
n
A Ai f (i )xi
i
i 1
i 1
n
4、取极限 A lim 0 i 1
f (i )xi
b
f ( x)dx
a
( max{ x1, x2 ,xn })
第六章 定积分的应用
1
定积分的微元法
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线 y
y f ( x)( f ( x) 0) 、
x 轴与两条直线x a 、
x b所围成。
oa
A
b
a
f
(
x)dx
y f (x)
bx
2
求曲边梯形面积的步骤：y
1、 分 割
n
A Ai
2、 近 似
i 1
解:
2a
2
A
a2
0
2
ydx 0 a(1
(1 cost)2dt
cos
t) a(1
y
cos
t )dt
0
4a2 2 sin4 t dt
0
2
o
2a x
8a2 sin4 u du 0
令u t 2
16 a2
2 sin4 u du
16a2
3
1
0
422
3 a2
17
例6求曲线y sin x与y sin2x在[0, ]上所围
2
2
2
14
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y
(t) (t)
曲边梯形的面积 A t2 (t)(t)dt. t1
（其中t1和t2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1,t2 ]（或[t2 ,t1 ]）上x (t )具有连续导数， y (t)连续.
15
例4
求椭圆 x 2 a2
y2 b2
3
上步骤y 若省略下标i,则
[ xi , xi1] [ xi ,yxi f(x)xi ][x, x x] [x, x dx]
取i xi
Ai
A
f
(i )xoi a xf (xxi )dxbxix
A lim 0
f (i )xi
f ( x)x f
b
A a f ( x)dx
( x)dx
说明：注意各积分区间上被积函数的形式．
问题： 积分变量只能选 x吗？
12
如果曲线围成的面积如图:
微 元 法:
y x ( y)
d
1)取y为积分变量, c y d,
x ( y)
y dy
2)在[ y, y dy]上求微元 y
dA (( y) ( y))dy c
3)积分
o
x
d
A c ( ( y) ( y))dy
13
例 3 计算由曲线y2 2x 和直线 y x 4所围
成的图形的面积. 解 两曲线的交点
y2 2x x y2
2
y2 2x
(2,2), (8,4).
y x4
选 y 为积分变量 y [2, 4]
y x4 x y4
dA
y
4
y2 2
dy
4
4
y2
A dA ( y 4 )dy 18.
1的面积.
解
椭圆的参数方程
x y
a cos t bsin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
a
0
A
40
ydx
4
b sin td(a cos t)
2
4ab 2 sin2 tdt ab. 0
16
例5. 求由摆线 x a (t sint), y a (1 cos t)
(a 0) 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
A ,则 d A f1(x) f2(x) dx
b
A a f1( x) f2( x) d x
y
y f2(x)
y f1( x)
o a x x dx
bx
9
例 1 计算由两条抛物线y2 x 和y x2 所围成的
图形的面积.
解 两曲线的交点
x y2
(0,0) (1,1)
y x2
(1)取x为积分变量 x [0,1]
(2)在典型区间[x, x dx]上,求面积元素
dA ( x x2 )dx
(3)积分
1
A ( 0
x
x2 )dx
2
3
3
x2
x3 3
1 0
1 3
.
10
例 2 计算由曲线 y x3 6x 和 y x2 所围成
的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x3 6x
y
x2
(0,0), (2,4), (3,9).