机器人的位姿描述与坐标变换

24) 机器人语言(Robot Language)：机器人系统中的计算机编程 语言，主要有VAL、VAL2、LAMA、RAIL等。
25) 触觉(Tactile Sense)：机器人与 物体之间接触时所得到的感觉信息。
26) 压觉(Sense of Contact Force)： 机器人与物体某个表面接触时，沿 法线方向受到的力的信息感觉。
2) 操作臂(Manipulator)：具有和人手臂(Arm) 相似的功能、可在空间抓放物体或进行其它 操作的机电装置。----Arm
3) 末端执行器(End-Effector)：位于机器人腕 部的末端，直接执行工作要求的装置。如灵 巧手、夹持器。----Hand/Gripper
4) 手腕(Wrist)：位于执行器与手臂之间，具 有支撑和调整末端执行器姿态功能的机构。 操作臂的组成部分之一。
机器人学
第二章 机器人的位姿描述与坐标变换 战强
北京航空航天大学机器人研究所
第二章 机器人的位姿描述与坐标变换
Z X
Y 机器人 的位姿
Zi Xi
Zw Xw
连杆I的 位姿
Yi
Yw
2-1、基本概念
1) 自由度(Degree of Freedom, DOF)：指一个 点或一个物体运动的方式，或一个动态系统 的变化方式。每个自由度可表示一个独立的 变量，而利用所有的自由度，就可完全规定 所研究的一个物体或一个系统的位置和姿态。 也指描述物体运动所需的独立坐标数，3维空 间需要6个自由度。
视 觉
滑移程度的能力。
2-2、机器人机构分类与图形符号 1) 机器人机构的基本组成
关节 Joint
连杆 Link
2) 机构图形符号
移动关节
转动关节
球关节 圆柱关节 末端执行器 机座 连杆
关节==运动副
3) 机器人按机构形式分类与简图
串联机器人
优点：工作空间大、速度快 缺点：系统的刚性较弱、定 位精度较差
►绕多个坐标轴旋转的转动矩阵
1）、绕固定坐标系旋转
坐标系 ( X i ,Yi , Zi )
坐标系( X m ,Ym , Z m )
坐标系( X j ,Yj , Z j )
Z m Zi Z j
θ
R(X i ,α)
R(Zi ,θ )
j i
R(α ,θ
)
=
R(Z
,θ
)R(
X
,α
)
α
Yj
θ
Ym
α
Xi Xm
并联机器人
优点：系统的刚度大、定位 精度高 缺点：工作空间小、运动速 度低
串联机器人的种类： A、直角坐标型机器人
P = F(X,Y,Z) B、 圆柱坐标机器人
θ
R
z P = F (θ, Z , R)
Y
Z
X
θ
R
z
C、 球坐标机器人
P = F (θ, φ, R) D、SCARA机器人
P = F (θ, φ, γ)
⎣⎢ 0
0 1⎦⎥⎣⎢− sinθ 0 cosθ ⎥⎦⎢⎣ 0
0 1⎥⎦
⎡cosϕ cosθ cosφ − sinϕ sinφ
cos(∠X i , X j cos(∠Yi , X
j)+ j)+
yj yj
cos(∠X i ,Y j cos(∠Yi ,Yj
) )
+ +
z z
j j
cos(∠X cos(∠Yi
i ,Z j) ,Z j)
⎪ ⎩
zi
=
xj
cos(∠Zi ,
X
j)+
yj
cos(∠Zi ,Yj ) +
zj
cos(∠Zi ,Z
sin α
cosα ⎥⎦
2）、绕运动坐标系旋转
坐标系 ( X i ,Yi , Zi )
坐标系 ( X1,Y1, Z1 )
坐标系 ( X 2 ,Y2 , Z2 ) 坐标系 ( X j ,Yj , Z j )
Z2
Zj φ
Zi (Z1) ϕ
R(Zi ,ϕ)
R(Y1,θ )
R(Z2 ,φ)
j i
R(ϕ ,θ
OO'Z ]3×3
=
⎢ ⎢
cos(∠X
'Y)
单位主矢量
⎢⎣cos(∠X 'Z)
cos(∠Y' X ) cos(∠Y 'Y ) cos(∠Y ' Z )
cos(∠Z' X )⎤
cos(∠Z'Y
)
⎥ ⎥
cos(∠Z ' Z ) ⎥⎦
⎡cos(∠X ' X ) cos(∠Y ' X ) cos(∠Z ' X )⎤ Z
Y
i
P
=
j i
R
j
P
坐标系j相对 于i的方位
旋转矩阵
旋转矩阵的性质：
j i
R=
i j
R
−1
=
i j
R
T
►绕一个坐标轴旋转的转动矩阵
Zi Zj
⎡1 0
0⎤
j i
R(
X
i
,θ
)
=
⎢⎢0
cosθ
−
sin
θ
⎥ ⎥
⎢⎣0 sinθ cosθ ⎥⎦
θ
Yj
θ Yi
Xi X
j
⎡ cosθ 0 sinθ ⎤
j i
θ
φR
θ
φ
γ
E、关节型机器人（通用）
并联机器人示例：
2-3 刚体位姿的数学描述
￥ ￥假设机器人的连杆和关节都是刚体￥ ￥
位置矢量
⎡x0 ⎤
P o '
o
=
⎢ ⎢
y0
⎥ ⎥
⎢⎣ z0 ⎥⎦
Z b Z'
O' Y' t O n X'
X Y
姿态矢量
⎡cos(∠X ' X )
OO'R
=
[
O' O
X
OO'Y
10) 工作空间(Working Space)：机器人在执 行任务时，其腕轴交点能在空间活动的范围。 由连杆尺寸和构形决定。
11) 负载(Load)：作用于末端执行器上的质量 和力矩。 12) 额定负载(Rated Load)：机器人在规定的 性能范围内，末端机械接口处能够承受的最 大负载量(包括末端执行器在内)。 13) 分辨率(Resolution)：机器人每个关节能 够实现的最小移动距离或最小转动角度。 14) 位姿精度(Pose Accuracy)：指令设定位姿 与实际到达位姿的一致程度。 15) 轨迹精度(Path Accuracy)：机器人机械接 口中心跟指令轨迹的一致程度.
⎢⎣0 sinθ cosθ ⎥⎦
⎡ cosθ 0 sinθ ⎤
j i
R(Yi
,θ
)
=
⎢ ⎢
0
1
0
⎥ ⎥
⎣⎢− sinθ 0 cosθ ⎥⎦
⎡cosθ − sinθ 0⎤
j i
R(Zi
,θ
)
=
⎢⎢sinθ
cosθ
0⎥⎥
⎢⎣ 0
0 1⎥⎦
转动矩阵的特点：
(1) 主对角线上有一个元素为1，其余均为转角的余弦/正弦； (2) 绕轴转动的次序与元素1所在的行、列号对应； (3) 元素1所在的行、列，其它元素均为0； (4) 从元素1所在行起，自上而下，先出现的正弦为负，后出现 的为正，反之依然。
16) 点位控制(Point to Point Control， PTP)：控制机器人从一个位姿转到另 一个位姿，其路径不限。
17) 连续轨迹控制(Continuous Path Control，CP)：机械接口在指定的轨 迹上，按照编程规定的位姿和速度移 动。它适于对两个以上的运动环节进 行控制。
R(Yi
,θ
)
=
⎢ ⎢
0
1
0
⎥ ⎥
⎢⎣− sinθ 0 cosθ ⎥⎦
Zi Zj
θ
θ Xi
Xj
Yi Y j
⎡cosθ − sinθ 0⎤
j i
R(Zi
,θ
)
=
⎢ ⎢
sinθ
cosθ
0⎥⎥
⎢⎣ 0
0 1⎥⎦
Zi Zj
θ
Xi Xj
Yj
θ
Yi
⎡1 0
0⎤
j i
R(
X
i
,θ
)
=
⎢⎢0
cosθ
−
sin
θ
⎥ ⎥
5)手臂(Arm)：位于基座和手腕之间，由操作
手
手的动力关节和连杆等组成的组件。能支撑
腕
手腕和末端执行器，并具有调整末端执行器
位置的功能。操作臂的组成部分。Outdated！
手
6) 世界坐标系(World Coordinate System)：参
臂
照地球的直角坐标系。
7) 机座坐标系、基坐标系(Base reference
2、坐标旋转（坐标系原点相同）
Zj
Zi
Xi Xj
P Yj Yi
坐标系j由坐标系i旋转而成
已知点P在j坐标系的坐标：
j P = [x j y j z j ]T
求点P在i坐标系的坐标：
i P = [xi yi zi ]T
Zj
Zi
zi zj
xi xj
Xi
P
yj
Yj
yi
Yi
Xj
i
P
=
⎪⎧⎨xyi i==xxj
18) 协调控制(Coordinated Control)： 协调多个手臂或多台机器人同时进行 某种作业的控制。
19) 伺服系统(Servo System)：控制机 器人的位姿和速度等，使其跟随目标 值变化的控制系统。
20) 离线编程(Off-line Programming)：机器人作业方式的信息 记忆过程与作业对象不发生直接关系的编程方式。
O' O
X
.OO'
Y
=OO'Y源自文库
.OO'
Z
=
OO'Z
.OO'
X
=0
☺
R = R O' −1 O' T
O
O
R是单位正交阵
R O '
O
=1
刚体的位置和姿态：
{O'} ={OO'R ,
O' O
P}
Z i Yi Xi
Z w Yw Xw
2-4 坐标变换（点的映射）
Zj
•P
1、坐标平移（坐标系方位相同）
Oj
Y j
力、力矩
27) 视觉(Visual Sense)：机器人对
光等外界信息的感觉。利用这种感
觉可以 识别物体的轮廓、方位、背
景等环境状态。
超
28) 接近觉(Proximity Sense)：机器
声
人能感受到与物体接近程度的能力。
29) 滑觉(Slip Sense)：机器人能感 受到其末端执行器与被夹持物之间
,φ)
=
R(Z ,ϕ )R(Y
,θ
)R(Z ,φ )
ZYZ欧拉角
θ
ϕ θφ
Yj
（Y2 )
φ
ϕ
θ Y1
Yi
Xi
X1 X2 X j
⎡cosϕ − sinϕ 0⎤⎡ cosθ 0 sinθ ⎤⎡cosφ − sinφ 0⎤
j i
R(ϕ
,θ
,φ
)
=
⎢⎢sin
ϕ
cosϕ
0⎥⎥⎢⎢ 0
1 0 ⎥⎥⎢⎢sinφ cosφ 0⎥⎥
21) 在线编程(On-line Programming)：通过人的示教来完成操 作信息的记忆 过程的编程方式。
22) 人工智能(Artificial Intelligence，AI)：机器人能执行一些 类似人类智力活动的能力。如推理、规划、图像识别、理解和 学习等。
23) 模式识别(Pattern Recognition)：通过类似人类感觉器官的 传感器所检测的信息来分析、描述和区分各个物体特征的方法。
j i
R
jP
►姿态矢量矩阵
Z
⎡cos(∠X ' X )
O' O
R
=
⎢ ⎢
cos(∠X
'Y
)
⎢⎣cos(∠X ' Z )
cos(∠Y ' X ) cos(∠Y 'Y ) cos(∠Y ' Z )
cos(∠Z ' X )⎤
cos(∠Z
'Y
)
⎥ ⎥
cos(∠Z ' Z ) ⎥⎦ O
X
b Z'
O' Y' t n X'
j)
i
P
=
⎡⎢⎢ccooss((∠∠XYii,,
X X
j) j)
⎢⎣cos(∠Zi , X j )
cos(∠X i ,Yj ) cos(∠Yi ,Yj ) cos(∠Zi ,Yj )
cos(∠X i , Z cos(∠Yi , Z
j
)⎤ ⎥
j)⎥
⎡ ⎢ ⎢
x y
j j
⎤ ⎥ ⎥
cos(∠Zi , Z j )⎥⎦⎢⎣ z j ⎥⎦
coordinate system)：参照机器人基座的坐标
系，即机器人末端位姿的参考坐标系。
机
8) 坐标变换(Coordinate Transformation)： 将
Zw
座
一个点的坐标描述从一个坐标系转换到另一 Xw 个坐标系下描述的过程。
Yw
9) 位姿(Position&Pose)：机器人末端执行器 在指定坐标系中的位置和姿态。
θ
Xj
Yi
⎡cosθ − sinθ 0⎤⎡1 0
0 ⎤ ⎡cosθ − sinθ cosα sinθ sinα ⎤
j
i
R(α
,θ
)
=
⎢⎢sin
θ
cosθ
0⎥⎥⎢⎢0
cosα
−
sin
α
⎥ ⎥
=
⎢⎢sinθ
cosθ cosα
−
cosθ
sin α
⎥ ⎥
⎢⎣ 0
0 1⎥⎦⎢⎣0 sinα cosα ⎥⎦ ⎢⎣ 0
OiP = OiOj + Oj P
Xj
P Zi Oj i
iP
=
Oj i
P
+
jP
Oi
Yi
沿着不同轴向的组合平移： Xi
⎡∑ Δx⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡∑ Δx⎤
Oj i
P
=
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
+
⎢⎢∑
Δy⎥⎥
+
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
=
⎢⎢∑
Δy
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎣⎢∑ Δz⎥⎦ ⎢⎣∑ Δz⎥⎦
O' O
R
=
⎢ ⎢
cos(∠X
'Y
)
⎣⎢cos(∠X ' Z )
cos(∠Y 'Y ) cos(∠Y ' Z )
cos(∠Z
'Y
)
⎥ ⎥
cos(∠Z ' Z ) ⎥⎦
X
Y
姿态矩阵R的特点：
☺ 9个元素，只有3个独立，
满足6个约束条件:
O' O
X
.OO'
X
=
OO'Y .OO' Y
=OO'Z.OO' Z = 1
适用的机器人类型举例（有平移关节）
Z1 X1
Y1 Z2 X2
Y2
Z3 Y3
X3
三坐标的直角坐标机器人
Zi
例:
Zj
•P
Oi
Xi
Oj
Yi
Y j
Xj
15
[ ] 已知 j P = − 5 6 7 T 求 P点在i坐标系中的坐标。
[ ] [ ] 解答： iP= jP+OijP = − 5 6 7 T + 0 15 0 T = [− 5 21 7]T