三角形的四心及其简单性质

ID=IE=IF
二、内心 三、垂心
定理：三角形的三条高线必交于一点，这个点叫做三角形 的垂心 如图，H为△ABC的垂心 性质：(1) 垂心与顶点的连线垂直于对边
(2) 垂心分每条高的两部 分乘积相等 AH⊥BC，BH ⊥ AC,CH ⊥ AB
二、内心 四、重心
定理：三角形的三边中线必交于一点，这个点叫做三角形 的重心 如图，G为△ABC的重心 性质：(1) 重心到顶点的距离与到对边 中点的距离之比为2:1 (2) 重心的坐标是三个顶点的坐 标的算术平均数 (3) 以重心为起点，以三顶点为 终点的三个向量之和等于零 向量
钝角△的外心在三角形的外部
OA=OB=OC
二、内心 二、内心
定理：三角形的内角的角平分线必交于一点，这个点是三角 形的内切圆的圆心，简称内心
如图，I为△ABC的内心
性质：(1) 内心到三条边的距离相等
(2) 内心一定在三角形的内部
(3) 在Rt△中，内心到边的距 离等于两直角边的和与斜边的 差的一半
3、本文所述性质皆为常用性质，并不全面。
欢迎批评指正！谢谢！
三角形的“四心”及简单性质
By 郯城美澳数学QQ群 群号：454463883
二、内心 一、外心
定理：三角形三条边的垂直平分线必交于一点，这个点是三角 形的外接圆的圆心，简称外心
A
如图，O为△ABC的外心
性质：(1) 外心到三个顶点的距离相等
(2) 锐角△的外心在三角形的内部
B
O C
直角△的外心在斜边的中点处
F G A
E
B
D
C
AG BG CG 2 GD GE GF x x x y yB yC G( A B C , A ) 3 3 GA GB GC 0
注 注意 意
1、三角形的中心：
只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
Baidu Nhomakorabea
2、旁心
三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆） 的圆心，叫做三角形的旁心，三角形有三个旁心，都在三角形外，旁心 到三边的距离相等。