中科院_高等量子力学_金彪_期末考题
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2005 一 (1) 求出算符 gˆ = (xˆpˆ + pˆxˆ)/2在坐标以及动量算符中的矩阵元 x |gˆ|x 和 p |gˆ|p (2) 证明一维谐振子的相干态 |α 具有最小的不确定度 (应考虑随时间 演化) 二
1
(1) 写出 Heisenberg 以及 Interaction 绘景中的力学量算符及各自随 时间演化的方程
(4) 写出与基态相差一个粒子态的表达式
(5) 在 (4) 的激发态中求出 pˆ 的平均值
2007 一
(1) 求相干态表达式 (使用归一化条件) (2) 求 exp (−xa+) a exp (xa+) |α (应为相干态的阿法矢量) 二
分别推导出 H 绘景和 I 绘景的态及算符随时间演化的表达式 三
(1) j1 = 1/2，j2 = 3/2，手算两个任意耦合态基矢的表达式 (一个可直 接写，一个需要算)
(2) W igner − Echart 定理证明 jm|T2µ|jm = 0，其中 j = 1/2 四 (1) 写出 Gˆ+，Gˆ+0 的表达式 (2) 推导证明 Gˆ+ = Gˆ+0 + Gˆ+0 V Gˆ+ 五
(2) 选用合适的方法求出一维自由粒子的传播子 K(x, t; x0, t0) (3) 已知初始时刻 ψ(x, t0) = δ(x − x˜)，利用上面的结果给出 x处 t 时刻 的波函数 三 (1) 利用形如 exp(iπJx/2) · Jz · exp(−iπJx/2) = Jy 的公式，用 |jm z 表 示出 |jm y，用转动算符 Rˆ 写出 (实际是求三个欧拉角) (2) 利用 W igner−Echart定理确定以下几种情况中哪几种 j m |Tλµ|jm 不为零 (a) j = j = 1/2，λ = 0 (b) j = j = 1/2，λ = 1 (c) j = j = 1/2，λ = 2 四 (1) 求出 Lippman−Schwinger方程的两种形式 (自由与全 Green F unction) 五 (不详)
(4) 计算 sz 在 ρ 下的平均值 三
2
(1) 用 R(α, β, γ) 和 |jm y表示 |jm z (2) 用 W igner −Echart 定理证明 n j m |X|njm = 0，已知 j = j = 0
四
两种粒子可以分辨，自旋都是 1/2，相互作用 V (r) = aδ(r)S1S2，已知
上升、下降算符的关系式)
二
(1) 写出 Fˆ = (xˆpˆ + pˆxˆ)/2 在 Heisenberg picture 下的算符表达式
(2) 在相干态下求 Fˆ 的平均值
(3) 给定 ρ =
3 4
|+
+|
+
1 4
|−
−|，|+
是 Sˆ2, sz的共同本征态，写出 sz
表象下 ρ的矩阵，并判断 ρ 是否为密度矩阵，是纯态或混态
3
(1) H =
n
En
+
1 2
V0δ(r − r0)，En 为自由费米子能量，写出其二次
量子化形式
(2) 写出粒子数算符 Nˆ 的二次量子化形式
(3) 求 Nˆ , Hˆ
整理：XIII 感谢前辈的热情 期待后辈的热心
4
量子力学历年试卷
2004 一 推导出相干态在粒子数表象中的归一化表达式 二 用 D − L 方法推出波函数的一级修正和能量的二级修正 (需记住定态 非简并微扰中相应的表达式) 三 判断矩阵元，当 1) j = j = 0 2) j = j = 1/2 3) j = j = −1/2 是否可能不为零 4) 推导得出当 j = j = 1/2 时的耦合表象基矢 四 1) 证明在定态散射中 (不详) 2) 对 s = 3/2 的两个全同费米子求非极化散射截面 五 s = 1/2 的全同费米子系统的哈密顿如下 (不详) 1) 给出哈密顿的二次量子化形式 2) 给出基态表示 3) 给出基态的能量一级修正
2006
一 (1) Hˆ = apˆ2 + bxˆ2 + c(xˆpˆ + pˆxˆ)/2，a, b, c 是参数 写出 Hˆ 的本征方程 Hˆ |E = E|E 在 x 表象下和 p 表象下的方程表达
式 (只需写出表达式)
(2) 在相干态表象中计算算符 gˆ = (xˆpˆ + pˆxˆ)/2的平均值 (已知 xˆ、pˆ 和
入射态为 |W = 1 0
0 ，求 1
(1) 非极化散射截面
(2) 微分散射截面
五
给定 s = 1/2的全同电子系统的 Hˆ = pˆ2i /2m + V0 δ(ri − rj)
i
Hale Waihona Puke Baidu
i
(1) 写出 Hˆ 的二次量子化表达式
(2) 写出动量算符 pˆ 的二次量子化表达式
(3) 在微扰为 0 时写出基态表达式
1
(1) 写出 Heisenberg 以及 Interaction 绘景中的力学量算符及各自随 时间演化的方程
(4) 写出与基态相差一个粒子态的表达式
(5) 在 (4) 的激发态中求出 pˆ 的平均值
2007 一
(1) 求相干态表达式 (使用归一化条件) (2) 求 exp (−xa+) a exp (xa+) |α (应为相干态的阿法矢量) 二
分别推导出 H 绘景和 I 绘景的态及算符随时间演化的表达式 三
(1) j1 = 1/2，j2 = 3/2，手算两个任意耦合态基矢的表达式 (一个可直 接写，一个需要算)
(2) W igner − Echart 定理证明 jm|T2µ|jm = 0，其中 j = 1/2 四 (1) 写出 Gˆ+，Gˆ+0 的表达式 (2) 推导证明 Gˆ+ = Gˆ+0 + Gˆ+0 V Gˆ+ 五
(2) 选用合适的方法求出一维自由粒子的传播子 K(x, t; x0, t0) (3) 已知初始时刻 ψ(x, t0) = δ(x − x˜)，利用上面的结果给出 x处 t 时刻 的波函数 三 (1) 利用形如 exp(iπJx/2) · Jz · exp(−iπJx/2) = Jy 的公式，用 |jm z 表 示出 |jm y，用转动算符 Rˆ 写出 (实际是求三个欧拉角) (2) 利用 W igner−Echart定理确定以下几种情况中哪几种 j m |Tλµ|jm 不为零 (a) j = j = 1/2，λ = 0 (b) j = j = 1/2，λ = 1 (c) j = j = 1/2，λ = 2 四 (1) 求出 Lippman−Schwinger方程的两种形式 (自由与全 Green F unction) 五 (不详)
(4) 计算 sz 在 ρ 下的平均值 三
2
(1) 用 R(α, β, γ) 和 |jm y表示 |jm z (2) 用 W igner −Echart 定理证明 n j m |X|njm = 0，已知 j = j = 0
四
两种粒子可以分辨，自旋都是 1/2，相互作用 V (r) = aδ(r)S1S2，已知
上升、下降算符的关系式)
二
(1) 写出 Fˆ = (xˆpˆ + pˆxˆ)/2 在 Heisenberg picture 下的算符表达式
(2) 在相干态下求 Fˆ 的平均值
(3) 给定 ρ =
3 4
|+
+|
+
1 4
|−
−|，|+
是 Sˆ2, sz的共同本征态，写出 sz
表象下 ρ的矩阵，并判断 ρ 是否为密度矩阵，是纯态或混态
3
(1) H =
n
En
+
1 2
V0δ(r − r0)，En 为自由费米子能量，写出其二次
量子化形式
(2) 写出粒子数算符 Nˆ 的二次量子化形式
(3) 求 Nˆ , Hˆ
整理：XIII 感谢前辈的热情 期待后辈的热心
4
量子力学历年试卷
2004 一 推导出相干态在粒子数表象中的归一化表达式 二 用 D − L 方法推出波函数的一级修正和能量的二级修正 (需记住定态 非简并微扰中相应的表达式) 三 判断矩阵元，当 1) j = j = 0 2) j = j = 1/2 3) j = j = −1/2 是否可能不为零 4) 推导得出当 j = j = 1/2 时的耦合表象基矢 四 1) 证明在定态散射中 (不详) 2) 对 s = 3/2 的两个全同费米子求非极化散射截面 五 s = 1/2 的全同费米子系统的哈密顿如下 (不详) 1) 给出哈密顿的二次量子化形式 2) 给出基态表示 3) 给出基态的能量一级修正
2006
一 (1) Hˆ = apˆ2 + bxˆ2 + c(xˆpˆ + pˆxˆ)/2，a, b, c 是参数 写出 Hˆ 的本征方程 Hˆ |E = E|E 在 x 表象下和 p 表象下的方程表达
式 (只需写出表达式)
(2) 在相干态表象中计算算符 gˆ = (xˆpˆ + pˆxˆ)/2的平均值 (已知 xˆ、pˆ 和
入射态为 |W = 1 0
0 ，求 1
(1) 非极化散射截面
(2) 微分散射截面
五
给定 s = 1/2的全同电子系统的 Hˆ = pˆ2i /2m + V0 δ(ri − rj)
i
Hale Waihona Puke Baidu
i
(1) 写出 Hˆ 的二次量子化表达式
(2) 写出动量算符 pˆ 的二次量子化表达式
(3) 在微扰为 0 时写出基态表达式