高数线性代数第三章

(4)对任一个向量 ,存在负向量 ,有 ( ) O;
(5) 1 ; (6)数乘结合律 k(l ) (kl);
(7)数乘分配律 k( ) k k ; (8)数乘分配律 (k l) k l .
其中 , ,为n维向量,1, k, l为数,O为零向量.
k1a1 k2a2 km am 称为向量组A的一个线性组合, k1 , k 2 ,, k m 称为 这个线性组合的系数.
４ 线性表示
定义 给定向量组A : a1 , a2 ,, am 和向量b,如果 存在一组实数k1 , k 2 ,, k m , 使
b k1a1 k2a2 km am , 则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能 由向量组A线性表示.
定理 向量b能由向量组A线性表示的充分必要条 件是矩阵A (a1 , a2 ,, am)的秩等于矩阵B (a1 , a2 ,, am , b)的秩.
定义 设有两个向量组A : a1 , a2 ,, am 及B : b1 , b2 ,, bs ,若B组中的每个向量都能由向量组A 线 性 表 示, 则 称 向 量 组B能 由 向 量 组A线 性 表 示. 若 向 量 组A与 向 量 组B能 相 互 线 性 表 示, 则 称 这 两个向量组等价.
数乘向量
数k与向量aT 的乘积, 称为向量的数量乘法 简 称 数 乘 向 量, 定 义 为
k aT (k a1, k a2 ,, k an) 向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 算，满足下列八条运算规则：
(1)加法交换律 ; (2)加法结合律 ( ) ( ); (3)对任一个向量 ,有 O ;
定理 设向量组B能由向量组A线性表示，则向量 组B的秩不大于向量组A的秩．

an
n维向量写成行的形式, 称为行向量,即
aT a1 , a2 , , an
向量的相等 设 aT (a1 , a2 ,, an), bT (b1 , b2 ,, bn)
则aT bT ai bi (i 1,2,, n) 零向量
分量全为0的向量称为零向量． aT O ai 0(i 1,2,, n) aT O ai中至少有一个不为0,(i 1,2,, n) 负向量
(1)向量组 A0 : a1 , a2 ,, ar 线性无关; (2)向量组A中任意r 1个向量(如果A中有r 1 个向量的话)都线性相关, 那么称向量组 A0 是向量组A的一个最大线性 无关向量组(简称最大无关组);最大无关组所含向 量个数r称为向量组A的秩.
定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩．
５ 线性相关
定义 给定向量组A : a1 , a2 ,, am ,如果存在不全 为零的数k1, k2 ,, km ,使
k1 a1 k 2 a2 k m am 0, 则称向量组A是线性相关的, 否则称它线性无关. 定理 向量组a1 , a2 ,, am 线性相关的充分必要 条件是它所构成的矩阵A (a1 , a2 ,, am)的秩小 于向量个数m;向量组线性无关的充分必要条件 是R( A) m.
向量aT (a1 , a2 ,, an)的负向量记作 aT ,且 aT (a1 , a2 ,, an).
２ 向量的线性运算
向量加法 设 aT (a1 , a2 ,, an),bT (b1 , b2 ,, bn),定义
向量aT 与bT 的加法为: aT bT (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn) 向量减法定义为 aT bT (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn)
第三章 习题课
１ 向量的定义
定义 n个有次序的数 a1 , a2 ,, an 所组成的 数组称为n维向量.这n个数称为该向量的分量, 第i个数 ai 称为第i个分量.
分量全为实数的向量称为实向量．
分量全为复数的向量称为复向量．
n维向量写成列的形式, 称为列向量,即
a1
a


a2
除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：
(1') 0 O, kO O(其中0为数零, k为任意数); (2')若k O,则或者k 0,或者 O; (3')向量方程 x 有唯一解x .
３ 线性组合
若干个同维数的列（行）向量所组成的集合 叫做向量组． 定义 给定向量组A : a1 , a2 ,, am ,对于任何一组 实数 k1 , k 2 ,, k m ,向量
a1 j
a rj a r 1,
j
,
(
j

1,Βιβλιοθήκη Baidu,,
m)
即向量a j 添上一个分量后得到向量 b j .若向量
组A : a1 , a2 ,, am 线性无关,则向量组B : b1 , b2 , , bm 也线性无关.反言之,若向量组B线性相关, 则向量组A也线性相关.
(3)m个n维向量组成的向量组,当维数n小于 向量个数m时一定线性相关.
定理 (1)若向量组A : a1 , a2 ,, am 线性相关,则向 量组B : a1 , a2 ,, am , am1也线性相关.反言之,若 向 量 组B线 性 无 关, 则 向 量 组A也 线 性 无 关.
(2)设
a
j


a1 j
a rj
,
b
j


(4)设向量组A : a1 , a2 ,, am 线性无关,而 向量组B : a1 , a2 ,, am , b线性相关,则向量b必 能 由 向 量 组A线 性 表 示, 且 表 示 式 是 唯 一 的.
６ 向量组的秩
定义 设有向量组A,如果在A中能选出r个向量a1 , a2 ,,ar ,满足