概率论与数理统计：连续型随机变量及其概率密度

由 F ( x)
x

f ( x)d x 得
0 , x 0, xx d x , 0 x 3, 0 6 F ( x) 3 x x d x ( 2 x ) d x , 3 x 4, 3 2 0 6 1, x 4.
0, 2 x , 12 即 F ( x) x2 3 2 x , 4 1,
P ( X 4 0) P( X 2或X 2)
2
而X的密度函数为 : f ( x ) 1 5, 1 x 6; 其他, 0,
且 P ( X 2)
2
6 2
4 f ( t )dt , P ( X 2) 0, 5
4 因此所求概率 P ( X 4 0) . 5
（3）另一方面,有些分布(如二项分布、泊松分布) 的极限分布是正态分布.所以,无论在实践中,还是在 理论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布. 二项分布向正态分布的转换
标准正态分布
当正态分布 N ( μ, σ 2 ) 中的 μ 0, σ 1 时, 这样 的正态分布称为标准正态分布, 记为 N (0, 1).
均匀分布概率密度函数演示
f ( x)
概率密度 函数图形

a
o

b
x
均匀分布的意义
在区间(a , b) 上服从均匀分布的随机变量 X ,
落在区间(a , b)中任意等长度的子区间内的可能 性是相同的.
l p ba

f ( x)
l 1 l
ba
o a b x 即 X 的取值在(a,b)内任何长为 d – c 的小区间 的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正 比. 这正是几何概型的情形.
第四节
连续型随机变量及其概率 密度
一、连续型随机变量的概念 二、常见连续型随机变量的分布
三、小结
一、连续型随机变量的概念
定义 设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得
F ( x) f (t ) dt
x
x
其中F ( x )是它的分布函数
4 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即
P{ X a } 0.
事实上 ( X a) (a x X a)
x 0
0 P( X a) P(a x X a)
0 P( X a) lim
f ( x )d x a x
P(a X b) a e d x
x
b
F (b) F (a ) e
应用场合
a
e
b
用指数分布描述的实例有：
随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间 无线电元件的寿命 动物的寿命 指数分布常作为各种 “寿命”分布的近似
查表可知 z 0.05
=1.645
z 0.005 =2. 575
(x )
注：
z1- z ,
z0.95 = -1.645

z0.995 = -2. 575
z1
0
z x
例7 设测量的误差 X ~ N(7.5,100)(单位：米),问要进 行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不 超过10米的概率大于0.9 ?
1、 f ( x) 0 2、
f ( x) d x F () 1

常利用这两个性质检验一个函数能否作为连 续性随机变量的密度函数，或求其 中的未知参数
3、 在 f ( x ) 的连续点处，
f ( x) F ( x)
f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的区间内
取值的概率
对一般的正态分布 ：X
~ N ( , 2)
( t )2 2 2
x 1 其分布函数 F ( x) dt e 2 t x F ( x) 作变量代换 s P(a X b) F (b) F (a )
b a P( X a) 1 F (a) a 1
0
a
ax f ( x)d x x0
a
P( X a) 0
由此可得： 连续型随机变量取值落在某一
区间的概率与区间的开闭无关
P ( a X b) P ( a X b)
P ( a X b)
f ( x)
0.08 0.06 0.04 0.02
P ( a X b)
解
10 7.5 10 7.5 P(| X | 10) 10 10
0.25 1.75
0.25 [1 1.75] 0.5586
设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次误差的绝对值 不超过10米 P ( A) 1 (1 0.5586) n 0.9 n > 3 所以至少要进行 4 次独立测量才能满足要求.
3 指数分布
若 X
的密度函数为
e , x 0 f ( x) 其他 0,
x
> 0 为常数
则称 X 服从 参数为的指数分布 记作
X ~ E ( )
x0 0, F ( x) 1 e x , x 0
X 的分布函数为
对于任意的 0 < a < b,
则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的 概率密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数 或概率密度
分布函数F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义
f ( x)
0.08 0.06 0.04 0.02
F ( x )
y f (x)
-10
-5
5
x
x
p.d.f. f ( x )的性质
正态分布的应用与背景
（1）正态分布是最常见最重要的一种分布,例如
测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;
正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布. σ
可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见
的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立
的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态 随机变量. （2）正态分布还可以导出一些有用的分布。
解
(1) 由


f ( x ) d x 1,
1 x 得 kx d x ( 2 ) d x 1, 解之得 k . 0 3 6 2 1 ( 2) 由 k 知 X 的概率密度为 6
3 4
x 0 x 3, 6 , x f ( x ) 2 , 3 x 4, 2 0, 其它.
正态概率密度函数的几何特征
(1) 曲线关于 x μ 对称; ( 2) 当x μ时, f ( x )取得最大值 ( 3) 当 x 时, f ( x ) 0; (4) 曲线在 x μ σ 处有拐点;
1 ; 2 πσ
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ , 改变 μ 的大小时, f ( x ) 图形的形状不变, 只是沿 着 x 轴作平移变换; μ称为位置 参数
标准正态分布的概率密度表示为
1 ( x) e 2π
x2 2
, x ,
标准正态分布的分布函数表示为
( x )
x
1 e 2π
t2 2
d t , x .
标准正态分布的图形
标准正态分布的计算：
教科书上都附有标准正 态分布表,由此可得( x)值.
求 P ( X < 0 ).
解二
图解法
0.2 0.15 0.1 0.05
0.3
0.2
2 4 6
-2
由图
P( X 0) 0.2
标准正态分布的上 分位数
z
设 X ~ N (0 , 1), 若 z 满足条件
PX z ,0 1,
则称点z 为标准正态分布的上 分位点。

分布函数
x a, 0, x a F ( x) , a x b, b a x b. 1,
均匀分布分布函数图形演示
F ( x)
1

a o

b
x
例3
设随机变量X服从(1,6)上的均匀分布，求 一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的概率.
解: 因为当 X 2 4 0时, t 2 Xt 1 0有实根. 故所求概率为:
x 0, 0 x 3, 3 x 4, x 4.
7 7 ( 3) P{1 X } F ( ) F (1) 41 . 2 2 48
二、常见连续型随机变量的分布
1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a x b, f ( x) b a 0, 其它, 则称 X 在区间 (a , b ) 区间上服从均匀分布, 记为 X ~ U (a , b ).
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对称轴 不变, 而形状在改变, σ 越小,图形越高越瘦, σ越大, 图形越矮越胖.σ称为形状参数
正态分布密度函数图形演示
正态分布的分布函数
1 F ( x) e 2πσ
( t μ )2 x 2σ 2
dt
正态分布分布函数图形演示
Βιβλιοθήκη Baidu
f ( x)d x F (b) F (a)
a
b
-10
a
-5
b
5
x
P( X b) P( X b) F (b) P( X a) P( X a) 1 F (a)
f ( x)
0.08 0.06 0.04 0.02
-10
-5
5
a
x
（3）
若X是连续型随机变量，{ X=a }是不
可能事件，则有 P{ X a } 0.
若 P{ X a } 0,
则不能确定 { X a } 是不可能事件
连 续 型
若 X 为离散型随机变量,
{ X a } 是不可能事件 P{ X a} 0.
离 散 型
例1 设 随机变量 X 具有概率密度
0 x 3, kx , x f ( x ) 2 , 3 x 4, 2 0, 其它. (1) 确定常数 k ; ( 2) 求 X 的分布函数; 7 ( 3) 求 P {1 X }. 2
(0) 0.5
( x) 1 ( x)
P(| X | a) 2 (a) 1
0.4
(0) 0.5
0.3 0.2 0.1
-3
-2
-1
1
2
3
( x) 1 ( x)
0.4 0.3 0.2 0.1
-3
-2
-x -1
1
x
2
3
P(| X | a) 2 (a) 1
例3 设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在 900 ~ 1100 ．求 R 的概率密度及 R 落在 950 ~ 1050 的概率． 解 由题意,R 的概率密度为
1 (1100 900), f (r ) 0, 900 r 1100, 其他.
故有
P{950 R 1050}
950
1050
1 d r 0.5. 200
2. 正态分布(或高斯分布)
( x μ )2 2σ 2
高斯资料
定义 设连续型随机变量X 的概率密度为 1 f ( x) e , x , 2 πσ 其中 μ, σ (σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为 μ, σ 的正态分布或高斯分布, 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
X ~ N (2, 2 ) 且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3, 例6 已知
0 2 1 2 解一 P( X 0) 4 2 2 2 P(2 X 4) 2 (0) 0.3 2 0.8 P( X 0) 0.2