向量在轴上的投影与投影定理

z
解
A M
B
o
y
x
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M 为有向线段AB 的定比分点. M 为中点时，
x1 x2 x , 2 y1 y2 y , 2 z1 z2 z . 2
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三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
非零向量 a 的方向角： 、 、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
a 0, b 0, 向量a 与向量b 的夹角 (a , b ) (b , a )
b

a
(0 )
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
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u 上的投影记为 Pr ju AB AB. 向量 AB 在轴
投影定理(1)
u 上的投影等于向量的模乘以 向量 AB 在轴 轴与向量的夹角的余弦： Pr ju AB | AB | cos
证
A
A

B
B
Pr ju AB Pr ju AB
B
u u
| AB | cos
R
k
M2
M1

N
Q
向 量 在
轴 轴 y 上 上 o 的 的 i x a x x2 x1 投 投 影 a y y2 y1 az z2 z1 影 M 1 M 2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k
P
x
z
0 ,
M2 M1
0 , 0 .
o
x
y
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z
R
M1
由图分析可知

M2
Q
P

o
x
a x | a | cos a y | a | cos y az | a | cos
2 2
方向余弦通常用来表示向量的方向.
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例 2
设 A( x1 , y1 , z1 ) 和 B ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为两已知
点，而在 AB 直线上的点 M 分有向线段AB 为 两部分 AM 、 MB ，使它们的值的比等于某数
AM ( 1) ，即 ，求分点的坐标. MB
j
向 量 在 y 轴 上 的 投 影
向 量 在
z
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按基本单位向量的坐标分解式：
M 1 M 2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k 在三个坐标轴上的分向量： a x i , a y j , a z k ,
a {a x , a y , a z }, b {bx , by , bz }, a b {a x bx , a y by , az bz } (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k ; a b {a x bx , a y by , az bz } (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k ; a {a x , a y , a z } ( a x )i ( a y ) j ( a z )k .
为终点的向量， 过 M1 , M 2 各作垂直于三个坐标轴的平面 ,
这六个平面围成一个以线段M 1 M 2 为对角线的 长方体.
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以i , j , k 分别表示沿 x , y , z 轴正向的单位向量. z a a x i a y j az k
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空间一点在轴上的投影

A
u
A
过点A 作轴u 的垂直 平面，交点 A 即为点 A 在轴u 上的投影.
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空间一向量在轴上的投影
B A
A
B
u
已知向量的起点 A 和终点B 在 轴u 上的投影分别为 A, B 那 么轴u 上的有向线段 AB 的 u 上的投影. 值，称为向量在轴
设 e 是与 u 轴同方向的单位向量， A e AB ( AB)e . o 1
B
u
设 A, B, C 是 u 轴上任意三点，不论这 三点 的相互位置如何，
AC AB BC, 即 ( AC )e ( AB)e ( BC )e ( AB BC )e , AC AB BC.
A
C
a1
B
a2
C
A
u
B
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二、向量在坐标轴上的分向量与向量 的坐标
设 a M1 M 2 为一向量，u 为一条数轴． 点 M1 , M 2 在轴 u 上的投影分别为点P1 , P2．
又设 P1 , P2 在轴 u 上的坐标依次为u1 , u2． Pr ju M1 M 2 au ,
向 量 的 方 向 余 弦
M1 M 2
M 1 P M 1Q M 1 R
2
2 2 2 | a | a x a y a z 向量模长的坐标表示式
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向量方向余弦的坐标表示式
当 a x a y a z 0 时，
2
2
2
cos
cos
ax a x a y az ay
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例 5 设 m 3 i 5 j 8 k ，n 2 i 4 j 7 k ， x 轴 p 5i j 4k ，求向量a 4m 3n p 在 上的投影及在y 轴上的分向量.
向量的坐标： a x , a y , a z ,
向量的坐标表达式： a {a x , a y , a z }
M1 M 2 { x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 }
特殊地： OM { x , y , z }
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向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
P1 P2 OP2 OP1 u2 u1 ,
M1 M2
o
P1
P2
u
au u2 u1 .
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u 轴正向一致的单位向量， 如果e 是与
由例1知
P1 P2 aue ( u2 u1 )e .
设a 是以 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 为起点、 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 )
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例 3 求平行于向量a 6i 7 j 6k 的单位向
量的分解式.
解
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x 轴 例 4 设有向量P1 P2 ，已知 P1 P2 2 ，它与
P1 的坐标为 和 y 轴的夹角分别为 和 ，如果 3 4 (1,0,3 ) ，求P2 的坐标.
解
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思考题
设 m i j ，n 2 j k ，求以向量 m , n 为边的平行四边形的对角线的长度.
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o 作为坐标原点．设A, B , 例 1 在u 轴上取定一点 u 轴 u u u e 是与 是 轴上坐标依次为 1 , 2 的两个点， 同方向的单位向量，证明 AB ( u2 u1 )e .
证
e
1
o
A u1
B u2
u
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空间两向量的夹角的概念：
a x a y az
2 2
2
2
2
,
,
2
cos
az a x a y az
2 2 2
.
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方向余弦的特征
cos cos cos 1
2 2 2
特殊地：单位向量的方向余弦为
a 0 a |a |
{cos , cos , cos }.
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定理1的说明：
(1) 0 , 投影为正； 2 ( 2) , 投影为负； 2 ( 3) , 投影为零； 2
c
b

a
u
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
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投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个） Pr j (a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .