复变函数第二章解析函数【精选】

方向趋向于 0, 即 x 0, y 0. 于是
x 2yi
x
lim
lim 1.
x0 x yi x0 x
y0
设 z 沿着平行于y 轴的方向趋向于 0, 即
x 0, y 0,
lim x 2yi lim 2yi 2.
x0 x yi
例2
求f (z)
z z

z 在z 0时的极限. z

f
(z)

2( x 2 x2
y2 y2
)
在(0,0)处极限
不存在.
例3
证明 f (z) Re z z 在z 0时的极限不存在.
函数的连续性
定义2.3
若 lim z z0
f (z)
f (z0 )， 则 称f (z)在z0处 连 续;
g(z)


g2(z)
, ( g(z) 0).
y0
y0 yi
所以 f (z) x 2 yi 的导数
x 0 y
z o
y 0 x
不存在.
2、 可导与连续的关系
函数f (z)在z0处可导，则在z0处一定连续, 但 函数f (z)在z0处连续不一定在z0处可导.
事实上,由 f (z)在z0点可导, 必有
lim
z0
f
( z0
以下不再区分函数与映射（变换）。
例3 研究w z 所构成的映射. 解 设z r(cos i sin ) rei
z rei —关于实轴对称的一个映射 见图1-1~1-2
例4 研究w ei z (实常数）所构成的映射.
解 设z re i w ei z ei re i re i( ) w u iv (cos i sin )( x iy)
2
2i
f (z) z 1 z
2. 映射的概念 ——复变函数的几何意义
在几何上， w=f(z)可以看作：
称w为z的象点(映象)，而z称为w的原象。
y
(z)
Βιβλιοθήκη Baidu
v
(w)
w=f(z)
E w=f(z)
z
G w
o
x
o
u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换）
在复变函数中用两个复平面上点集之间的
对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观.
z0
这说明 f (z) x 2 yi 在复面内处处连续.
但是,
f (z z) f (z)
z
( x x) 2( y y)i x 2 yi x yi
x 2yi . x yi
设 z 沿着平行于x 轴的
y
z o
y 0 x
z0
z
dw , df (z) dz dz
等表示 f (z)在z点的导数.
例1 设 f (z) z2, 则 f (z)在复平面内 处处可导，且 f (z) 2z.
解 因为
f (z) lim f (z z) f (z)
z0
z
lim (z z)2 z2
z z0
z z0
存在，则称 f (z)在 z z0点可导, 并把这个极 限值称为 f (z) 在 z z0 点的导数，记做 f (z0 ).
定义中的极限式可以写为
lim f (z0 z) f (z0 ) ,
z0
z
即当 f (z)在 z z0 点可导时,
f (z0 )
x,
y)

u0
(
x,
lim
y)( x0
,
y0
)
v(
x,
y)

v0
定理2.2
若 lim f (z) A lim g(z) B,则
z z0
z z0
lim f (z) g(z) lim f (z) lim g(z) A B
z z0
z z0
z z0
lim f (z)g(z) lim f (z) lim g(z) AB
f
(z0

z)

f (z0),
即 f (z)在 z0处连续.
反之, 由例 2 知, f (z) x 2 yi 不可导.
但是二元实函数 u( x, y) x, v( x, y) 2 y 连续,
证明 f (z) x 2 yi 在复面内处处
于是根据 定理2连.5续知，, 但函处数处不f (可z)导. x 2 yi 连续.
z0
z
lim(2z z). z0
所以 z2 2z.
例2 证明 f (z) x 2 yi 在复面内处处 连续，但处处不可导.
证明 对复平面内任意点z, 有 f (z z) f (z)
( x x) 2( y y)i x 2 yi x 2yi. 故 lim[ f (z z) f (z)] 0.
u( x, y) iv( x, y)
故 u u( x, y) v v( x, y)
w f (z) u iv u u( x, y) v v( x, y)
例1 w z2 令z x iy w u iv
则 w (u iv) ( x iy)2 x2 y2 2 xyi
f (z) A e
成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做 lim f (z) A 或 f (z) A (z z0 ).
z z0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
v
w f (z)
z0 d
o
xo
(w)
e
A
u
几何意义: 当变点z一旦进
入z0 的充分小去 心邻域时,它的象
(2) (zn ) nzn1, 其中n为正整数.
(3) f (z) g(z) f (z) g(z).
(4) f (z)g(z) f (z)g(z) f (z)g(z).
f (z)
f (z)g(z) f (z)g(z)
(5)

( x cos y sin ) i( x sin y sin ) 即，
u x cos y sin

v

x
sin

y
sin
—旋转变换(映射)
见图2
y (z)
v (w)
o
x
o
u
图1-1
y、v (z)、(w)
y、v (z)、(w)

o
x、u
x、u
图1-2
定义 设 w =f (z) 的定义集合为E，函数值集合为G， 那么
则称z=(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.
复变函数的极限与连续性
1. 函数的极限 2. 相关定理 3.函数的连续性
复变函数的极限
定义2.2 设复变函数w=f(z)在z0的某个去心
邻域内有定义, A是复常数. 若对任意给定的e >0, 存在d >0, 使得对一切满足0<|z-z0|<d 的z , 都有
定理2.5 设 f (z) u( x, y) iv( x, y), 则 f (x)
3、求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实函数
导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函 数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而 实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且 证明方法相同.
求导公式与法则: (1) (c) 0, 其中c为复常数.
w z2 u x2 y2
v 2xy
实部等于实部 虚部等于虚部
例2 若已知
f
(z)

x1
x2
1
y2

iy1
x2
1
y2

将 f (z)表示成 z 的函数.
设z x iy,则x 1 (z z), y 1 (z z)

z) z
f (z0 )

f (z0 )
0,
令 r(z)
f (z0 z) z
f (z0 )
f (z0 ).
f (z0 z) f (z0 ) f (z0 )z r(z)z,
再由 lim r(z) 0, 所以 z0
lim
z0
故不连续。
(2)在 负 实 轴 上 P( x,0)(x 0)
y (z) z
lim arg z y0 lim arg z y0
arg z在 负 实 轴 上不连续。
P( x,0)
ox
z
定理2.3 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 仍为连续函数;
定理2.4 连续函数的复合函数仍为连续函数。
E 称为该函数的定义域.
若z 一个w值，称f (z)是单值函数;
z 多个w值，称f (z)是多值函数.
今后无特别声明，所讨论的函数均为单值函数。
该函数的值域为：
G = f (E) = {w w = f (z) , z ? E}
z x iy ( x, y); w u iv (u, v) w f (z) f ( x iy)
lim
z z0
f (z) z
f (z0 ) z0
lim f (z0 z) f (z0 ) .
z0
z
注意 z z0 (z 0) 的方式是任意的.
若 f (z)在区域 D内每一点都可导, 则称 f (z)
在区域 D内可导.
此时，对D内任意一点z, 有
也可用
f (z) lim f (z z) f (z) .
o 图2
例5 研究w z2 所构成的映射 .
y (z)
v (w)
w z2

2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2

o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称w z 为z=w2的反函数或逆映射
2 k
w z z e 2 (k 0,1) ∴为多值函数,2支.
z z0
z z0
z z0
lim
f (z)
lim f (z)
z z0
(lim g(z) 0)
A
zz0 g(z) lim g(z) zz0
B
z z0
以上定理用极限定义证!
例1 证明w x2 y i( x y2 )在平面上处处有极限.
x2 y, x y2在平面上处处有极限
若 在 区 域D内 处 处 连 续 ， 则 称f (z)在D内 连 续;
若z、z0

C
,
且
lim
z z0
f (z)
f (z0 )， 则 称f (z)
在 曲 线C上 点z0处 连 续.
例4 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。 证明 (1) f (z) arg z在原点没有定义，
第二章 解析函数
§2.1 复变函数的概念 §2.2 解析函数的概念 §2.3 解析的充要条件 §2.4 初等函数
§2.1 复变函数的概念、极限 与连续性
复变函数的概念
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
定义2.1设E是复平面上的点集, 若对任何z=x+iyE, 都存在一个或几个复数w=u+iv和z对应, 则称在 E上 确定了一个复变函数，用w=f (z)表示.
点f(z)就落入A的
一个预先给定的
ε邻域中
相关定理
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：
定理2.1
设f (z) u( x, y) iv( x, y) z x iy z0 x0 iy0
则
lim
zz0
f (z)
A
u0
iv0

(
lim
x, y)( x0 , y0
)
u(
定理2.5 设 f (z) u( x, y) iv( x, y), 则 f (z)
在 z0 x0 iy0 处连续的充分必要条件是 u( x, y), v( x, y) 都在 ( x0 , y0 )点连续.
由以上讨论 P(z) a0 a1z anzn在整个复平面内是连续的； R(z) P(z) 在复平面内除分母为0点外处处连续.
Q(z)
有界性：
设曲线C为闭曲线或端点包括在内的曲线段 若f (z)在C上连续 M 0,在曲线上恒有 f (z) M
§2.2 解析函数的概念
一、复变函数的导数
1、 导数的定义
定义2.4 设 w f (z)是定义在区域D上的
复变函数, z0是区域D内的定点. 若极限
lim f (z) f (z0 )