2011年考研数学试题及参考答案(数学一)

3、设 函数f (x)具有二阶连续导数，且 f(x) 0， f (0) 0，则函数z f (x)ln f (y)

2011年考研数学试题(数学一)

、选择题

1、曲线y x 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4的拐点是( )

(A ) (1, 0)

(B ) (2, 0)

( C ( 3, 0)

( D ) (4, 0)

【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分 条件即可。

【解析】由y x 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4可知1,2,3,4分别是

2

3

4

y x 1 x 2 x 3 x 4 0的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的

关系可知 y(1) 0，y (2) y (3) y (4) 0

y (2) 0， y (3) y (4) 0，y (3)

0,y ⑷

0，故(3，0)是一

拐点。

2、设数列

a n 单调减少，lim

n

a n 0， S n

n

a k n 1,2

k 1

无界，则幕级数

a n x 1

n

的收敛域为(

) (A) (-1 ， 1]

(B ) [-1 ，1) (C ) [0，2) (D )

n 1

(0，2]

【答案】C 【考点分析】本题考查幕级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项 级数收敛性的一些结论，综合性较强。

无界，说明幕级数 a n x 1 n 的收敛半径R 1 ；

n 1

半径R 1。

因此，幕级数

a n x 1 n 的收敛半径 R

n 1

收敛，x 2时幕级数发散。可知收敛域为

0,2。

n

【解析】S n

a k n 1,2

k 1

a n 单调减少，lim a n

n

0，说明级数 a n

n 1

1 n 收敛，可知幕级数

a n x 1 n 的收敛

n 1

1，收敛区间为 0,2。又由于x 0时幕级数

在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )

(A) f(0) 1, f (0) 0 (B) f (0) 1, f (0) 0 (C) f(0) 1,

f (0)

(D)

f (0)

1, f (0)

【答案】C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充 分条件即可。

【解析】由 z f (x)ln f (y)知 Z x

f (x)ln f (y), Z y 丄^ f (y) , Z xy

f (x)

f (y) f(y)

f(y)

f (0)ln f (0)

0, f (0)ln f (0) f (0) 0

所以有 f (0) 1, f (0)

【答案】B

的大小即可。

5.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵 B ,再交换B 的第二行与第一行得单

Z xx f (x)ln f (y),

Z yy f(x)

f (y)f(y) (f (y))2

f 2(y)

所以Z xy 要使得函数z

0, Z xx

(f (0))2 f 2

(0)

f (x)ln f (y)在点(0,0) f (0)ln f (0),

0 0

f (0)

处取得极小值，仅需

4、设 I

o 4 In sin xdx,J

ln cotxdx K

4ln

cosxdx ,则UK 的大小关系是()

(A ) I J K ( B )I K J

(C ) J I K

( D ) K J I

【考点分析】本题考查定积分的性质,

直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数

【解析】x (0,)时，0 sin x

4

cosx cot x ,因此匕 Insin x In cos x In cot x

4 ln sinxdx 0

4 ln cosxdx

ln cot xdx ,故选(B )

10 0

10 0 位矩阵•记P 1

1 0 , F

2 0 0 1,则A () 0 0 1

0 1

即可。

x , F 2 x 为两个分布函数，其相应的概率密度 f 1 x , f 2 x 是连续函数，则必为

概率密度的是（） (B) 2f 2 x F j x

（C ） f 1 x

F 2 x （ D ）

x F 2 x f 2 x F 1 x

【答案】D 【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。 【解析】检验概率密度的性质：

f 1 x F 2 x f 2 x F 1 x 0 ；

(A ) RF 2

(B ) R 1

P 2

(C ) F 2F

1

(D) F 2 R

【答案】D 【考点分析

】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论 【解析】

矩阵与初等变换的关系知AR

B ， F 2B E ，

A BR 1

F 2 1

P 1

1

F 2R ，故选（D ）

6、设

3,

4是

4阶矩阵， 为

的伴随矩阵，若 1,0,1,0是方程组

的一个基础解系，则

x 0基础解系可为（

(A)

1, 3

(B)

1，

2

(C)

2,

3 (D)

2, 3, 4

【答案】D 【考点分析 】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩 阵等方面的知识，有一定的灵活性。 【解析】 由x 0的基础解系只有一个知 r(A) 3，所以 r(A ) 1，又由 A A A

知,

2, 3, 4都是 x 0

的解，且

x 0的极大线生无关组就是其基础解系，又

2,

3,

1， 2， 3， 4

0，所以

3线性相关，故

1， 2,

4为极大无关组，故应选（ D )

7、设 F 1 (A ) f 1 X f 2 X