能量法与超静定
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10、非线弹性结构，位移和变形能都可以 叠加（ ）。
11、非线弹性结构，位移和变形能都不可 以叠加（ ）。
2020/8/6
讨论题
12、当某一种基本变形的变形能由两个以上的载 荷共同引起时，该变形能不等于这些载荷单独 作用时引起的变形能的叠加（ ）。
5、弹性体所受的外力从零缓慢（逐渐） 增加到最终值。
6、变形能大小与加载过程的先后次序无 关，而只决定于载荷及其相应的位移的 最终值。
2020/8/6
2020/8/6
讨论题
1﹑弹性体在外力作用下因弹性变形而储存 的能量，称为弹性变形能（ ）。
2、弹性体在内力作用下因弹性变形而储存 的能量，称为弹性变形能（ ）。
6、广义位移可以是一点的线位移、一个截 面的角位移、两点间的相对位移、两个截 面的相对角位移（ ）。
7 、广义力与广义位移的对应关系，一个集 中力对应的广义位移与该力作用点沿该力 作用方向的位移（ ）。
2020/8/6
讨论题
8、对线弹性结构，位移可以叠加，其变形 能也可以叠加（ ）。
9、对线弹性结构，位移可以叠加，其变形 能不可以叠加（ ）。
所有的广义力均以静力方式，按一定比例由O增加至最终 值。任一广义位移 i 与整个力系有关，但与其相应的广义力
呈F i 线性关系。
2020/8/6
内力表示的克隆原理
V LF N 2 2(E x)dA xLM 2 2(E x)dI xLT2 2G (x)P dIx
K Fs2(x)dx
L 2EA 式中：K—剪切形状系数。 矩形K=6/5; 圆形K=10/9; 圆环K=2
F2
F1
2 3
V W 1 2F 1 11 2F 221 2F 33
线弹性体的变形能等于每一外力与 其相应位移乘积的二分之一的总和。
2020/8/6
M(x)
M(x)
N (x)
N (x)
T (x)
T (x)
V LF N 2 2(E x)dA xLM 2 2(E x)dI xLT2 2G (x)P dIx
2020/8/6
B L
F
⑷当F和M0分别作用时
A M0
V1M 2E 2eLI V2F 6E 2L3I
V1V2 V
⑶克隆定理（方法二 外力表达式）
w A(w A)F(w A)M 0 3 F E 3L IM 2E eL 2I
A(A)F来自百度文库A)M e 2 F E 2L IM E eLI
V W 1 2 FA w 1 2 M eA F 6 E 2 L 3 IM 2 e E F 2 I L M 2 E e 2 LI
2020/8/6
2020/8/6
例10-2：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶 矩M0作用。设EI为常数，试求梁的变形能。
解：方法一 内力表达式
F
⑴ 弯矩方程
B
A
Me
M(x)MeFx
L
⑵ 变形能
V
L
M2(x)dx 2EI
L
21EI(Me
Fx)2dx
Me2LMeFL2 F2L3 2EI 2EI 6EI
3、在线弹性情况下，力与位移呈线性关系 ，其变形能随力在做功。不考虑能量损失 的情况，力与位移的三角形阴影部分的面 积就等于变形能（ ）。
4、弹性变形的大小等于广义力与相对应的 广义位移乘积的一半（ ）。
2020/8/6
讨论题
5、广义力可以是一个集中力、一个集中力 偶、一对集中力、一对集中力偶（ ）
2020/8/6
一、基本概念
1、能量法
利用功和能的原理求解变形固体的位移、 变形和内力等的方法称为能量法。
2、变形能
在线弹性范围内，弹性体在外力作用下发 生变形而在体内储蓄的能量，称为弹性变形能 或称应变能。
2020/8/6
二、基本理论
1、功能原理； 2、克隆原理； 3、虚位移原理；4、虚功原理； 5、虚力原理； 6、互等定理； 7、卡氏定理； 8、莫尔定理。
2020/8/6
关于变形能的讨论
两个以上载荷引起同一种基本变形的 变形能，不等于各个载荷引起的变形 能的叠加。与当杆件发生两种或两种 以上的基本变形时，杆件的总变形能 等于各个基本变形的变形能的和。的 概念容易混淆，应注意理解。
2020/8/6
关于变形能的讨论
4、变形能是恒为正的标量，与坐标轴的 选择无关，在杆系结构中，各杆可独立 地选择坐标系。
2020/8/6
关于变形能的讨论
1、上述各能量式仅适用于线弹性材料杆件在 小变形下的变形能的计算。
2、变形能可以通过外力功计算，也可以通过 杆件微段上的内力功等于微段上的变形能计 算，然后积分求得整个杆件的变形能。
3、变形能为内力（或外力）的二次函数，故 叠加原理在变形能计算中不能使用。只有当 杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不 作功时，才可应用叠加原理。
。
2020/8/6
重要基本概念
1、广义位移（用Δ表示）①线位移: 水平位 移Δix ; 竖向位移Δiy ; ②角位移φi ; ③相对位移：一对力引起的位移。ΔAB
2020/8/6
2、广义力（用F表示） ①广义外力（F、М、R）。 ②广义内力（N、Q、T、М）。
3、实位移和虚位移 ①实位移—位移是由作功的力自身引起的。 ②虚位移—位移不是由作功的力自身引起的
第五讲 能量法与超静定
2020/8/6
材料力学Ⅱ的主要内容
一、能量法 二、超静定 三、动载荷
2020/8/6
考点
基本理论与应用 知识掌握与能力
2020/8/6
§10-1 能量法概述
一、基本概念 二、基本理论 三、基本方法 四、典型例题
2020/8/6
五、能量法的应用
1、结构的变形分析 2、超静定结构分析 3、结构的稳定性分析 4、杆件的冲击分析
2020/8/6
三、基本方法
1、能量法 2、求导法 3、单位载荷法 4、图乘法
2020/8/6
重点：功能原理、单位载荷法。 难点：虚位移、虚功、虚功原理、虚力原
理、虚位移原理。 考点：变形能的概念，能量法在超静定、
冲击中的应用。
2020/8/6
2020/8/6
2020/8/6
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2020/8/6
杆件组合变形的变形能
V LF N 2 2(E x)dA xLM 2 2(E x)dI xLT2 2G (x)P dIx
K Fs2(x)dx
L 2EA 式中：K—剪切形状系数。 矩形K=6/5; 圆形K=10/9; 圆环K=2
。
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§10-3 克隆原理
F3
1
11、非线弹性结构，位移和变形能都不可 以叠加（ ）。
2020/8/6
讨论题
12、当某一种基本变形的变形能由两个以上的载 荷共同引起时，该变形能不等于这些载荷单独 作用时引起的变形能的叠加（ ）。
5、弹性体所受的外力从零缓慢（逐渐） 增加到最终值。
6、变形能大小与加载过程的先后次序无 关，而只决定于载荷及其相应的位移的 最终值。
2020/8/6
2020/8/6
讨论题
1﹑弹性体在外力作用下因弹性变形而储存 的能量，称为弹性变形能（ ）。
2、弹性体在内力作用下因弹性变形而储存 的能量，称为弹性变形能（ ）。
6、广义位移可以是一点的线位移、一个截 面的角位移、两点间的相对位移、两个截 面的相对角位移（ ）。
7 、广义力与广义位移的对应关系，一个集 中力对应的广义位移与该力作用点沿该力 作用方向的位移（ ）。
2020/8/6
讨论题
8、对线弹性结构，位移可以叠加，其变形 能也可以叠加（ ）。
9、对线弹性结构，位移可以叠加，其变形 能不可以叠加（ ）。
所有的广义力均以静力方式，按一定比例由O增加至最终 值。任一广义位移 i 与整个力系有关，但与其相应的广义力
呈F i 线性关系。
2020/8/6
内力表示的克隆原理
V LF N 2 2(E x)dA xLM 2 2(E x)dI xLT2 2G (x)P dIx
K Fs2(x)dx
L 2EA 式中：K—剪切形状系数。 矩形K=6/5; 圆形K=10/9; 圆环K=2
F2
F1
2 3
V W 1 2F 1 11 2F 221 2F 33
线弹性体的变形能等于每一外力与 其相应位移乘积的二分之一的总和。
2020/8/6
M(x)
M(x)
N (x)
N (x)
T (x)
T (x)
V LF N 2 2(E x)dA xLM 2 2(E x)dI xLT2 2G (x)P dIx
2020/8/6
B L
F
⑷当F和M0分别作用时
A M0
V1M 2E 2eLI V2F 6E 2L3I
V1V2 V
⑶克隆定理（方法二 外力表达式）
w A(w A)F(w A)M 0 3 F E 3L IM 2E eL 2I
A(A)F来自百度文库A)M e 2 F E 2L IM E eLI
V W 1 2 FA w 1 2 M eA F 6 E 2 L 3 IM 2 e E F 2 I L M 2 E e 2 LI
2020/8/6
2020/8/6
例10-2：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶 矩M0作用。设EI为常数，试求梁的变形能。
解：方法一 内力表达式
F
⑴ 弯矩方程
B
A
Me
M(x)MeFx
L
⑵ 变形能
V
L
M2(x)dx 2EI
L
21EI(Me
Fx)2dx
Me2LMeFL2 F2L3 2EI 2EI 6EI
3、在线弹性情况下，力与位移呈线性关系 ，其变形能随力在做功。不考虑能量损失 的情况，力与位移的三角形阴影部分的面 积就等于变形能（ ）。
4、弹性变形的大小等于广义力与相对应的 广义位移乘积的一半（ ）。
2020/8/6
讨论题
5、广义力可以是一个集中力、一个集中力 偶、一对集中力、一对集中力偶（ ）
2020/8/6
一、基本概念
1、能量法
利用功和能的原理求解变形固体的位移、 变形和内力等的方法称为能量法。
2、变形能
在线弹性范围内，弹性体在外力作用下发 生变形而在体内储蓄的能量，称为弹性变形能 或称应变能。
2020/8/6
二、基本理论
1、功能原理； 2、克隆原理； 3、虚位移原理；4、虚功原理； 5、虚力原理； 6、互等定理； 7、卡氏定理； 8、莫尔定理。
2020/8/6
关于变形能的讨论
两个以上载荷引起同一种基本变形的 变形能，不等于各个载荷引起的变形 能的叠加。与当杆件发生两种或两种 以上的基本变形时，杆件的总变形能 等于各个基本变形的变形能的和。的 概念容易混淆，应注意理解。
2020/8/6
关于变形能的讨论
4、变形能是恒为正的标量，与坐标轴的 选择无关，在杆系结构中，各杆可独立 地选择坐标系。
2020/8/6
关于变形能的讨论
1、上述各能量式仅适用于线弹性材料杆件在 小变形下的变形能的计算。
2、变形能可以通过外力功计算，也可以通过 杆件微段上的内力功等于微段上的变形能计 算，然后积分求得整个杆件的变形能。
3、变形能为内力（或外力）的二次函数，故 叠加原理在变形能计算中不能使用。只有当 杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不 作功时，才可应用叠加原理。
。
2020/8/6
重要基本概念
1、广义位移（用Δ表示）①线位移: 水平位 移Δix ; 竖向位移Δiy ; ②角位移φi ; ③相对位移：一对力引起的位移。ΔAB
2020/8/6
2、广义力（用F表示） ①广义外力（F、М、R）。 ②广义内力（N、Q、T、М）。
3、实位移和虚位移 ①实位移—位移是由作功的力自身引起的。 ②虚位移—位移不是由作功的力自身引起的
第五讲 能量法与超静定
2020/8/6
材料力学Ⅱ的主要内容
一、能量法 二、超静定 三、动载荷
2020/8/6
考点
基本理论与应用 知识掌握与能力
2020/8/6
§10-1 能量法概述
一、基本概念 二、基本理论 三、基本方法 四、典型例题
2020/8/6
五、能量法的应用
1、结构的变形分析 2、超静定结构分析 3、结构的稳定性分析 4、杆件的冲击分析
2020/8/6
三、基本方法
1、能量法 2、求导法 3、单位载荷法 4、图乘法
2020/8/6
重点：功能原理、单位载荷法。 难点：虚位移、虚功、虚功原理、虚力原
理、虚位移原理。 考点：变形能的概念，能量法在超静定、
冲击中的应用。
2020/8/6
2020/8/6
2020/8/6
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2020/8/6
杆件组合变形的变形能
V LF N 2 2(E x)dA xLM 2 2(E x)dI xLT2 2G (x)P dIx
K Fs2(x)dx
L 2EA 式中：K—剪切形状系数。 矩形K=6/5; 圆形K=10/9; 圆环K=2
。
2020/8/6
§10-3 克隆原理
F3
1