可修复系统可靠性

（3）稳态有效度（Steady Availability）： 稳态有效度或称为时间有效度（Time Availability），又叫可工作时间比UTR （Up Time Ratio），记为A（∞）或A。它 是时间t→∞时瞬时有效度A（t）的极限， 即 A（∞）＝A＝ lim A(t ) (6-9) t 稳态有效度也可表示为
维修性特征量和可靠性特征量的关系
1、 对应关系 M（t）与F（t）、m（t）与f（t）、μ（t）与λ （t）、MTBF与MTTR是——对应的； 2、区别 可靠性指标依据的是从开始工作到故障发生的 时间（寿命）数据，而维修性指标依据的是发 生故障后进行维修所花费的时间——修复时间 数据。两者相比，维修时间数据比寿命数据要 小得多。另外，可靠性是由设计、制造、使用 等因素所决定的，而维修性是人为地排除故障， 使产品的功能恢复，因而人为因素影响更大。
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第六章
可修复系统可靠性
第一节 维修及其数量指标 第二节 马尔柯夫过程 第三节 串联可修系统 第四节 并联可修系统 第五节 可修复系统 第六节 串并联可修系统 第七节 柔性连接系统可靠性 第八节 实例研究 习题
二、马尔柯夫过程的概念 1．马尔柯夫性 设 {X (t ), t T }是一个随机过程，如果{X (t ), t T} 在时刻 t t 0 所处的状态为已知时，它在 t 0 时刻所处状态的条件分布与其在 t 0 之前所 处的状态无关，通俗地说，就是在知道随 机过程“现在”的条件下，其“将来”的 { X (t ), t 条件分布不依赖于“过去”，则称 T } 具有马尔柯夫性。
4．平均修复时间MTTR 平均修复时间是指可修复的产品的平均修 理时间，其估计值为修复时间总和与修复 次数之比，记作MTTR（Mean Time To Repair）。 MTTR = E(Y )= 0 tdM (t ) (6-5) 若修复时间服从指数分布，如式（6-4）所 示，则平均修复时间是修复率的倒数，即 1 MTTR = (6-6)
2．马尔柯夫过程 设 {X (t ), t T } 的状态空间为S， 如果 n 2, t1 t 2 t n T ，在条 x i 件 X (t ) x ，i S， 1,2,, n 1 下， (t n )的 X 条件分布函数恰好等于在条件X (t n 1 ) xn 1 下的条件分布函数，即
即系统稳态 A() 可用度为
A() 1

n
（6-25）
二、n台不同设备、一组维修人员的情况 当台设备故障率分别为修复率分别为时, 定义
0 时刻t时ຫໍສະໝຸດ Baidu台设备都正常 X (t ) i 时刻t时第i台设备故障, 其余设备都正常, i 1, 2,3, , n
态空间 E 0。
0
＝ t时刻内修复的台数
维修总台数
2．维修密度函数m（t） 如果维修度函数M（t）连续可导，则M（t） 的导数称为维修密度函数，记为m（t）。 m（t）＝ dM (t ) dt (6-2) 若已知维修密度函数m（t），则
M（t）=
0 m(t )dt
t
3．修复率μ（t） 修复率指修理时间已达到某一时刻但尚未修复的 产品在该时刻后的单位时间内完成修理的概率， 可表示为μ（t）。它是用单位时间修复发生故障 的产品的比例来度量维修性的一个尺度。 1 dM (t ) m(t ) μ（t）= 1 M (t ) dt 1 M (t ) （6-3） 若M（t）服从指数分布，即 M（t）＝1－e－μt 则修复率为常数μ。 (6-4)
i i
P[ X (tn ) xn | X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,, X (tn 1 ) xn 1 ] P[ X (tn ) xn | X (tn 1 ) xn 1 ], xn R
（6-15）
则称为马尔柯夫过程。
马尔柯夫过程可以按时间和状态是连续的 或是离散的进行分类： （1）时间与状态均为离散的马尔柯夫过程， 称为离散时间马尔柯夫链； （2）时间连续但状态离散的马尔柯夫过程， 称为时间连续马尔柯夫链； （3）时间与状态均为连续的马尔柯夫过程， 称为连续马尔柯夫过程。 本节主要介绍在可修系统可靠性分析中广 泛应用的连续时间的马尔柯夫链的概念及 其基本性质。
若系统是由一个部件和一组维修人员组成， 此时部件工作，系统亦工作；部件故障， 系统也就故障。该系统是最简单的可修复 系统。若系统处于修复状态，则当部件修 复后，部件重新开始工作，系统也就处于 工作状态了。用1表示系统的正常状态，2 表示故障状态，则
1 时刻t时系统工作 X (t ) 2 时刻t时系统故障
系统的转移概率矩阵为
1 nt nt P(t ) t 1 t
在工程上一般关心的是系统的稳态可用度， 2 设 代表1 时刻系统正常概率， 代表 t时 t 刻系统故障概率，状态向量 1 , 2 转移 概率矩阵 为 P n 1 n P （6-24） 1
可工作时间 U A＝ 可工作时间 不能工作时间 U D （6-10）
U——可维修的系统、机器、设备或部件等 产 品平均能正常工作的时间，单位为h D——产品平均不能工作时间，单位为h。 或表达为 MTBF A＝ MTBF MTTR (6-11) 当可靠度R（t）和维修度M（t）均为指数分布， 1 且MTBF＝ ，MTTR= 1 时，有 MTBF A＝ （6-12） MTBF MTTR 如上所述的瞬时、任务、稳态有效度之间的关系， 见图6-1。
第一节 维修及其数量指标
一、维修性特征量 1．维修度M（t） 维修度（Maintainability）是指在规定的条件下使 用的可维修产品，在规定的时间内，按规定的程序 和方法进行维修时，保持或恢复到能完成规定功能 的概率，记为M（t）。 M（t）＝P（Y≤t） （6-1） ＝ t m(t )dt
固有有效度也可表示为（预防性维修）
A（t1，t2）＝
MTBM MTBM M
(6-14)
式中 MTBM（Mean Time Between Maintenances）——两次维修间平均时间； ——平均维修时间。 M
第二节 马尔柯夫过程
一、随机过程的概念 设E是随机试验， {}是它的样本空间，T 是一个参数集，若对于每一个 t T ,都有随 机变量 X (t , ), 与之对应，则称随机变 量族{x(t, ), t T } 为随机过程或随机函数，通 常记作 {X (t ), t T } 或 X (t ) 。
图6-1 瞬时、任务、稳态有效度
（4）固有有效度（Inherent Availability）： 固有有效度可表示为（事后维修）
工作时间 MTBF A＝ 工作时间 实际不能工作时间 MTBF MADT （6-13）
式中 MADT（Mean Active Down Time）——平均实际不能工作时间； MTBF——平均无故障工作时间。
n 1 2 0
n 1 2 0
上述两个方程线性相关，舍去1个，补充方 程 1 2 1，得
解得
n 1 2 0 1 2 1 1 n n 2 n
X (t ) 是一个齐次马尔柯夫链，正常工作状
若发生故障后一组维修人员立刻进行维修， 则在和之间极小的时间内的转移概率矩阵 为
n 1 i t 1 t 2 t n t i 1 0 0 P(t ) 1 t 1 1 t n t 0 0 1 n t
各台修复时间的总和 维修总台数
二、有效性特征量 1．有效度 （1）瞬时有效度（Instantaneous Availability）：瞬时有效度指在某一特定 瞬时，可修产品保持正常工作使用状态或 功能的概率
（2）平均有效度（Mean Availability）： 可修产品在时间区间［0，t］内的平均有 效度，即瞬时有效度A（t）在［0，t］内 的平均值，记为（t）。
足够长时间后，系统处于各个状态的概率达到稳 定，即 t 时， 或 其中，为单位矩阵，0为零向量， I 是转移概 P I 率矩阵对角线元素减1后得到的矩阵，称为转移 率矩阵。 由式（6-24）得
P (P I ) 0
即
n n 1 , 2 0,0
n
第三节 串联可修系统
一、n台相同设备、一组维修人员的情况 设在 t 和 t t之间极小的时间t内，n台设备 故障率均为 ，修复率均为 时,用1表示系 统正常工作，用2表示系统处于故障状态。
1 时刻t时系统工作 X (t ) 2 时刻t时系统故障 是一个齐次马尔柯夫链，正常工作状态空 间 E {1} 。
四、计算齐次马尔柯夫可修系统可靠性特征 量的方法和步骤 下面以单部件可修复系统为例，说明计算 齐次马尔柯夫可修系统可靠性特征量的方 法和步骤。为了讨论方便，我们作如下假 定： （1）组成系统的部件的寿命和维修时间的 分布均为指数分布； （2） X (t )表示系统在时刻t的状态； （3）每个部件所处状态是相互独立的。
Pij (t ) 表示t时系统处于状态i的条件下，又
求稳态可用度的简易方法，具体过程如下： （1）分析系统的状态，写出状态向量 ； （2）画出状态转移图，写出转移概率矩阵 P 以及 P I ； （3）联立方程 ( P I ) 0，删除成线性关系的 方程，补充 1 2 1； （4）求解方程组，得到稳态可用度。
例6-1 某电视机厂的维修站修理了该厂生产的20台 电视机，每台的修理时间（单位为min）如下：48， 59，68，86，90，105，110，120，126，128， 144，150，157，161，172，176，180，193， 198，200。 试求：（1）160min的维修度； （2）MTTR； （3）120min时的修复率，Δt＝15min。 M (t ) ＝ t时刻内修复的台数 ＝0.65 解（1） 维修总台数 （2）MTTR＝ MTTR＝（48＋59＋68＋…＋198＋200）/20＝ 133.55min 在时间区间（，t t）内修复的台数 t （3） μ（t）＝ 于是 到时刻t仍未修好的台数 t 2 μ（120）= 12 15＝1.1%
X (t ) 是一个齐次马尔柯夫链。
假定部件的故障率及修复率分别为 和 ， 根据图6-2，可写出马尔柯夫链的转移概率 矩阵 P(t )（又称为微系数矩阵），即 t 1 t P(t ) 1 t t 经过t 后变成状态j的状态转移概率（是条 件概率），简称转移率。
P(t )相应的转移概率矩阵P为
n 1 i i 1 P 1 n
1
1 1 0
2
0 0

0 1 n
n

转移率矩阵为
n i 1 i 1 1 P I 1 0 n