恒成立与存在问题,方程有解

专题：函数恒成立与存在问题

一．不等式恒成立问题

例1. （1）当x ∈R 时，y = x 2 - 2ax + 1>0恒成立，求实数a 的取值范围．

（2）当0≤x ≤1时，y =x 2 - 2x -1 +a>0恒成立，求实数a 的取值范围．

（3）当0≤x ≤1时，y =x 2 - 2ax -1 +a>0恒成立，求实数a 的取值范围．

练习：1.已知[]2()25,0,3f x x x x =-+∈，()f x x a >+若恒成立，求实数a 的取值范围．

2.已知两函数2)(x x f =，m x g x

-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]0,2x ∈，都有()g x 在()f x 图像上方，则实数m 的取值范围为

二．不等式存在（能成立，有解）问题

例2：存在0≤x ≤1时，使y =x 2 - 2x -1 +a>0能成立，求实数a 的取值范围．

（2）存在0≤x ≤1，使不等式y =x 2 - 2ax -1 +a>0能成立，求实数a 的取值范围．

练习：存在实数x ，使得不等式2313x x a a ++-≤-有解，则实数a 的取值范围为______

三．恒成立与存在综合问题

例3：（1）已知函数12)(2+-=ax x x f ，()a g x x =

，其中0>a ，0≠x ．对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；

（2）已知函数12)(2+-=ax x x f ，()a g x x

=，其中0>a ，0≠x ．对任意1[1,2],x ∈，存在2[2,4]x ∈，使)()(21x g x f >成立，求实数a 的取值范围；

练习：已知两函数2)(x x f =，m x g x

-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=21)(，存在[]2,01∈x ，对任意[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为

专题：方程有解问题

例：已知函数2()f x x x =-,[]0,5x ∈

（1）若关于x 的方程20k x x -+=在是[0，5]有解，求k 的取值范围

（2）若关于x 的方程20k x x -+=在是[0，5]内仅有一个实根，求k 的取值范围

练习：（1）若关于x 的方程a a x -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛22321有正实数解，则a 的取值范围为

(2) 方程241221x

x a -++=+有解，则a 的取值范围为

(3) 方程222x x a -=有4个解，则a 的取值范围为