多元函数的极值及其求法
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则f ( x, y)在点( x0, y0 ) 处是否取得极值的条件如下：
（1）当AC B2 0时具有极值 当A 0时,有极大值, 当A 0时,有极小值;
（2）当AC B2 0时没有极值；
（3）当AC B2 0 时，可能有极值,也可能
没有极值，还需另作讨论．
例4 求函数 的极值.
解 第一步 求驻点: 解方程组
约束条件：xyz V0
方法1 设拉格朗日函数为
L( x, y, z) 2( xz yz) xy （xyz -V0）
2z y yz 0
令
2z x xz 0
2( x y) x y 0
x yz V0 0
2z y yz 0
由
2z x xz 0
z y
2( x y) x y 0
无条件 极值：对于变量仅限制了定义域. 条件极值：
除了定义域之外，对函数的自变量 还有附加条件的极值问题.
解决条件极值问题的方法----
方法1 代入法. 例如 ,
在条件 (x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值
转 化
从条件(x, y) 0中解出 y (x)
求一元函数 z f [x, (x)] 的无条件极值问题
因 d y x , dx y
故有
fx
f
y
x y
0
记
fx fy
x y
极值点必满足
fx x 0 f y y 0 (x, y) 0
先构造函数 （称拉格朗日函数）
L( x, y) f ( x, y) ( x, y)
其中 为某一常数，称为拉格朗日乘子，
可由
解出 x, y,,
其中x,y就是可能的极值点的坐标. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
可取得最大收益？
解 每天的收益为
目标函数
f (x, y) (x 2)(60 50x 40 y)
( y 3)(80 50x 60 y) ( x 2, y 3)
目标函数 f (x, y) (x 2)(60 50x 40 y)
( y 3)(80 50x 60 y)
求驻点：令
在边界 x 0和 y 0上, f ( x, y) 0,
在边界x y 6上，f (4,2) 64,
y
比较函数值后可知：
x y6
D (4,2)
f (2,1) 4为最大值,
(2,1)
o
x
f (4,2) 64为最小值.
与一元函数相类似,我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
x
x yz V0 0
解得唯一驻点
Fra Baidu bibliotekx y 2z 3 2V0 ,
4 3 2V0
由题意可知合理的设计是存在的,
因此 , 当高为 3
V0 4
,长、宽为高的 2 倍时，
所用材料最省.
长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.
思考
（1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?
（2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?
20
10
代入(3),得
1 100
, 代入(4),得
x
5,
y
10.
得到唯一的驻点 (5,10). 根据题意，最佳效果是存在的，
故买5本书、10次网上下载可达到最佳效果.
利用拉格朗日乘数法时，关键是找到和 区分目标函数和约束条件.
目标函数：U( x, y) ln x ln y 效果函数
约束条件：20x 10 y 200
水箱表面积：
S( x, y, z) 2( xz yz) xy 最小.
约束条件：xyz V0
方法2 将条件极值转化为无条件极值
将条件xyz V0 代入表面积函数,则求
11
S( x,
y)
2V0 (
y
) x
xy
(x
0,
y
0)
的极值问题.
自行完成，并比较两种方法
拉格朗日乘数法可推广到 两个以上约束条件的情况：
fx fy
10x 9 y 1 3x 4y 6 0
0，
解得 x 4.46, y 4.85
根据题意可知,最大值一定存在, 并在开区域
D ( x, y) x 2, y 3 内取得，又函数在D内
只有唯一驻点(4.46,4.85), 因此可断定本地的
饮料价格约定为4.46元,外地的约为4.85元时，
在直线 x y 6，x轴和y轴所围成的闭区
域D上的最大值与最小值. 解 如图,
先求函数在D内的驻点，
y
x y6
D
D
o
x
z f (x, y) x2 y(4 x y)
解方程组
f x (x, y) 2xy(4 x f y (x, y) x2 (4 x
y) x2 y y) x2 y
f x ( x0 , y0 ) 0 f y ( x0 , y0 ) 0
一元可导函数有极值的必要条件： y f ( x)在 x0处有极值，则 f ( x0 ) 0.
证 不妨设z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处有 极大值, 则对于( x0 , y0 )的某邻域内任意
( x, y) ( x0 , y0 ) 都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 ),
2.8 多元函数的极值及其求法
2.8.1 多元函数的极值
2.8.2 多元函数的最值 2.8.3 条件极值 拉格朗日乘数法
2.8.1 多元函数的极值
一、多元函数极值（一元函数极值的推广） 1.极值的定义
设函数 zyf (fx(,xy)在点( xx0 ,0y0 ) 的某邻域
U( )有定义，( x,xy)U ( ),
例7 小王有200元钱,他决定用来购买参考 书和支付网上下载资料的费用,设他购买x本书， 网上下载y 次资料的效果函数为
U( x, y) ln x ln y 设每本书20元,每次下载的费用10元,问他如何 分配这200元以达到最佳效果．
分析 效果函数 U( x, y) ln x ln y
在条件20x 10 y 200下最大.
f (P) 为极小(大) 值
f (P) 为最小(大)值
例6 某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶
进价2元,外地牌子每瓶进价3元,店主估计，
若本地牌子的每瓶卖x元,外地牌子的每瓶卖
y元,则每天可卖出60 50x 40 y 瓶本地牌子
的果汁，80 50x 60 y瓶外地牌子的果汁.
问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁
例8 要设计一个容量为V0的长方体开口水箱, 问水箱长,宽,高等于多少时所用材料最省？
解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,
则问题为: 求 x , y , z，使在条件
xyz V0
下, 水箱表面积
V0
z
y x
S( x, y, z) 2( xz yz) xy
最小.
水箱表面积：
目标函数 S( x, y, z) 2( xz yz) xy 最小.
z
在 (0,0) 处有极小值．
极小值点(0, 0)
例2 函数 z x2 y2
x
o x
yz o
y
在 (0,0) 处有极大值．
例3 函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
zy
o x
2、多元函数取得极值的条件
定理1（必要条件）
设函数 z f ( x, y) 在点( x0, y0 ) 具有
偏导数，且在点( x0 , y0 )处有极值，则它 在该点的偏导数必然为零：
求函数 z f ( x, y) 极值的一般步骤：
第一步
解方程组
fx ( x, y) 0, fy(x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 )
求出二阶偏导数的值A、B、C.
第三步 定出 AC B2的符号，
再判定是否是极值.
2.8.2 多元函数的最值
依据
在边界x y 6上，即 y 6 x y
于是 f ( x, y) x2(6 x)(2),
x y6
D (4,2)
(2,1)
o
x
由 fx 4x( x 6) 2x2 0, 一元函数
得 x1 0, x2 4
的极值
y 6 x |x4 2, f (4,2) 64,
在D内驻点处 f (2,1) 4，
在点(1,0)处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值; 在点(1,2)处
(1,0) (1,2) (-3,0) (-3,2)
AC B2 12 (6) 0,
在点(3,0) 处
AC B2 12 6 0,
在点(3,2) 处 AC B2 12 (6) 0, A 0, 为极大值.
若f若( xf, y()x) f (fx(0x, 0y)0，)则, 称函数在(xx0,0y0)有极大值；
若f若(xf, y( x) ) f (fx(0x,0y)0，)，则称函数在(x0x, y00)有极小值.
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数 z 3x2 4 y2
函数 f 在有界闭区域上连 续
函数 f 在有界闭区域上可取到最值
最值可疑点
驻点 边界上的最值点
求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点处的函数值及 在D 的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.
例5 求二元函数z f ( x, y) x2 y(4 x y)
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0 f y ( x0 , y0 , z0 ) 0 fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数 同时为零的点，均称为函数的驻点.
注意： 驻点
极值点
例如, 点 (0, 0)是函数 z xy 的驻点，
但不是极值点.
问题： 如何判定一个驻点是否为极值点？
故当 y y0， x x0时，有 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值,
必有 f x ( x0 , y0 ) 0;
类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
推广
如果三元函数u f ( x, y, z)在点 P( x0 , y0 , z0 )具有偏导数，则它在 P( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必要条件为
构造拉格朗日函数
L( x, y) ln x ln y (20x 10 y 200)
Lx
1 x
20
0
(1) U( x, y) ln x ln y
Ly
1 y
10
0
(2) 条件:20x 10 y 200
20x 10 y 200 (3)
由(1),(2)得 x 1 , y 1 (4)
定理2(充分条件) 设函数z f ( x, y)在点(x0, y0)
的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数， 又fx ( x0 , y0 ) 0，f y ( x0 , y0 ) 0， ( x0 , y0 )是驻点 令fxx ( x0, y0 ) A，fxy ( x0, y0 ) B，f yy ( x0, y0 ) C，
得驻点: (1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2) . 第二步 判别: 求二阶偏导数 fxx ( x, y) 6x 6， fx y ( x, y) 0, f y y ( x, y) 6 y 6
fxx( x, y) 6x 6, fx y( x, y) 0, fyy(x, y) 6 y 6
收益最大.
2.8.3 条件极值 拉格朗日乘数法
实例：小王有200元钱,他决定用来购买参考 书和支付网上下载资料的费用,设他购买x本书， 网上下载y 次资料的效果函数为
U( x, y) ln x ln y 设每本书20元,每次下载的费用10元,问他如何 分配这200元以达到最佳效果．
问题：求函数 U( x, y) ln x ln y 在条件20x 10 y 200 下的极值问题
方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
在条件 (x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值.
如方法 1 所述 , 设 (x, y) 0 可确定隐函数 y (x),
则问题等价于一元函数 z f [x, (x)] 的极值问题, 故 极值点必满足
dz dx
dy fx fy dx
0
0 0
(1) (2)
由(2)-(1)式，得 x 2 y, 代入(2)式,得
区域D内唯一驻点 (2,1), 且 f (2,1) 4.
z f ( x, y) x2 y(4 x y) 在驻点处
再求f ( x, y) 在D边界上的最值：f (2,1) 4
在边界 x 0和 y 0上, f ( x, y) 0
（1）当AC B2 0时具有极值 当A 0时,有极大值, 当A 0时,有极小值;
（2）当AC B2 0时没有极值；
（3）当AC B2 0 时，可能有极值,也可能
没有极值，还需另作讨论．
例4 求函数 的极值.
解 第一步 求驻点: 解方程组
约束条件：xyz V0
方法1 设拉格朗日函数为
L( x, y, z) 2( xz yz) xy （xyz -V0）
2z y yz 0
令
2z x xz 0
2( x y) x y 0
x yz V0 0
2z y yz 0
由
2z x xz 0
z y
2( x y) x y 0
无条件 极值：对于变量仅限制了定义域. 条件极值：
除了定义域之外，对函数的自变量 还有附加条件的极值问题.
解决条件极值问题的方法----
方法1 代入法. 例如 ,
在条件 (x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值
转 化
从条件(x, y) 0中解出 y (x)
求一元函数 z f [x, (x)] 的无条件极值问题
因 d y x , dx y
故有
fx
f
y
x y
0
记
fx fy
x y
极值点必满足
fx x 0 f y y 0 (x, y) 0
先构造函数 （称拉格朗日函数）
L( x, y) f ( x, y) ( x, y)
其中 为某一常数，称为拉格朗日乘子，
可由
解出 x, y,,
其中x,y就是可能的极值点的坐标. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
可取得最大收益？
解 每天的收益为
目标函数
f (x, y) (x 2)(60 50x 40 y)
( y 3)(80 50x 60 y) ( x 2, y 3)
目标函数 f (x, y) (x 2)(60 50x 40 y)
( y 3)(80 50x 60 y)
求驻点：令
在边界 x 0和 y 0上, f ( x, y) 0,
在边界x y 6上，f (4,2) 64,
y
比较函数值后可知：
x y6
D (4,2)
f (2,1) 4为最大值,
(2,1)
o
x
f (4,2) 64为最小值.
与一元函数相类似,我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
x
x yz V0 0
解得唯一驻点
Fra Baidu bibliotekx y 2z 3 2V0 ,
4 3 2V0
由题意可知合理的设计是存在的,
因此 , 当高为 3
V0 4
,长、宽为高的 2 倍时，
所用材料最省.
长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.
思考
（1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?
（2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?
20
10
代入(3),得
1 100
, 代入(4),得
x
5,
y
10.
得到唯一的驻点 (5,10). 根据题意，最佳效果是存在的，
故买5本书、10次网上下载可达到最佳效果.
利用拉格朗日乘数法时，关键是找到和 区分目标函数和约束条件.
目标函数：U( x, y) ln x ln y 效果函数
约束条件：20x 10 y 200
水箱表面积：
S( x, y, z) 2( xz yz) xy 最小.
约束条件：xyz V0
方法2 将条件极值转化为无条件极值
将条件xyz V0 代入表面积函数,则求
11
S( x,
y)
2V0 (
y
) x
xy
(x
0,
y
0)
的极值问题.
自行完成，并比较两种方法
拉格朗日乘数法可推广到 两个以上约束条件的情况：
fx fy
10x 9 y 1 3x 4y 6 0
0，
解得 x 4.46, y 4.85
根据题意可知,最大值一定存在, 并在开区域
D ( x, y) x 2, y 3 内取得，又函数在D内
只有唯一驻点(4.46,4.85), 因此可断定本地的
饮料价格约定为4.46元,外地的约为4.85元时，
在直线 x y 6，x轴和y轴所围成的闭区
域D上的最大值与最小值. 解 如图,
先求函数在D内的驻点，
y
x y6
D
D
o
x
z f (x, y) x2 y(4 x y)
解方程组
f x (x, y) 2xy(4 x f y (x, y) x2 (4 x
y) x2 y y) x2 y
f x ( x0 , y0 ) 0 f y ( x0 , y0 ) 0
一元可导函数有极值的必要条件： y f ( x)在 x0处有极值，则 f ( x0 ) 0.
证 不妨设z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处有 极大值, 则对于( x0 , y0 )的某邻域内任意
( x, y) ( x0 , y0 ) 都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 ),
2.8 多元函数的极值及其求法
2.8.1 多元函数的极值
2.8.2 多元函数的最值 2.8.3 条件极值 拉格朗日乘数法
2.8.1 多元函数的极值
一、多元函数极值（一元函数极值的推广） 1.极值的定义
设函数 zyf (fx(,xy)在点( xx0 ,0y0 ) 的某邻域
U( )有定义，( x,xy)U ( ),
例7 小王有200元钱,他决定用来购买参考 书和支付网上下载资料的费用,设他购买x本书， 网上下载y 次资料的效果函数为
U( x, y) ln x ln y 设每本书20元,每次下载的费用10元,问他如何 分配这200元以达到最佳效果．
分析 效果函数 U( x, y) ln x ln y
在条件20x 10 y 200下最大.
f (P) 为极小(大) 值
f (P) 为最小(大)值
例6 某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶
进价2元,外地牌子每瓶进价3元,店主估计，
若本地牌子的每瓶卖x元,外地牌子的每瓶卖
y元,则每天可卖出60 50x 40 y 瓶本地牌子
的果汁，80 50x 60 y瓶外地牌子的果汁.
问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁
例8 要设计一个容量为V0的长方体开口水箱, 问水箱长,宽,高等于多少时所用材料最省？
解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,
则问题为: 求 x , y , z，使在条件
xyz V0
下, 水箱表面积
V0
z
y x
S( x, y, z) 2( xz yz) xy
最小.
水箱表面积：
目标函数 S( x, y, z) 2( xz yz) xy 最小.
z
在 (0,0) 处有极小值．
极小值点(0, 0)
例2 函数 z x2 y2
x
o x
yz o
y
在 (0,0) 处有极大值．
例3 函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
zy
o x
2、多元函数取得极值的条件
定理1（必要条件）
设函数 z f ( x, y) 在点( x0, y0 ) 具有
偏导数，且在点( x0 , y0 )处有极值，则它 在该点的偏导数必然为零：
求函数 z f ( x, y) 极值的一般步骤：
第一步
解方程组
fx ( x, y) 0, fy(x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 )
求出二阶偏导数的值A、B、C.
第三步 定出 AC B2的符号，
再判定是否是极值.
2.8.2 多元函数的最值
依据
在边界x y 6上，即 y 6 x y
于是 f ( x, y) x2(6 x)(2),
x y6
D (4,2)
(2,1)
o
x
由 fx 4x( x 6) 2x2 0, 一元函数
得 x1 0, x2 4
的极值
y 6 x |x4 2, f (4,2) 64,
在D内驻点处 f (2,1) 4，
在点(1,0)处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值; 在点(1,2)处
(1,0) (1,2) (-3,0) (-3,2)
AC B2 12 (6) 0,
在点(3,0) 处
AC B2 12 6 0,
在点(3,2) 处 AC B2 12 (6) 0, A 0, 为极大值.
若f若( xf, y()x) f (fx(0x, 0y)0，)则, 称函数在(xx0,0y0)有极大值；
若f若(xf, y( x) ) f (fx(0x,0y)0，)，则称函数在(x0x, y00)有极小值.
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数 z 3x2 4 y2
函数 f 在有界闭区域上连 续
函数 f 在有界闭区域上可取到最值
最值可疑点
驻点 边界上的最值点
求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点处的函数值及 在D 的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.
例5 求二元函数z f ( x, y) x2 y(4 x y)
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0 f y ( x0 , y0 , z0 ) 0 fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数 同时为零的点，均称为函数的驻点.
注意： 驻点
极值点
例如, 点 (0, 0)是函数 z xy 的驻点，
但不是极值点.
问题： 如何判定一个驻点是否为极值点？
故当 y y0， x x0时，有 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值,
必有 f x ( x0 , y0 ) 0;
类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
推广
如果三元函数u f ( x, y, z)在点 P( x0 , y0 , z0 )具有偏导数，则它在 P( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必要条件为
构造拉格朗日函数
L( x, y) ln x ln y (20x 10 y 200)
Lx
1 x
20
0
(1) U( x, y) ln x ln y
Ly
1 y
10
0
(2) 条件:20x 10 y 200
20x 10 y 200 (3)
由(1),(2)得 x 1 , y 1 (4)
定理2(充分条件) 设函数z f ( x, y)在点(x0, y0)
的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数， 又fx ( x0 , y0 ) 0，f y ( x0 , y0 ) 0， ( x0 , y0 )是驻点 令fxx ( x0, y0 ) A，fxy ( x0, y0 ) B，f yy ( x0, y0 ) C，
得驻点: (1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2) . 第二步 判别: 求二阶偏导数 fxx ( x, y) 6x 6， fx y ( x, y) 0, f y y ( x, y) 6 y 6
fxx( x, y) 6x 6, fx y( x, y) 0, fyy(x, y) 6 y 6
收益最大.
2.8.3 条件极值 拉格朗日乘数法
实例：小王有200元钱,他决定用来购买参考 书和支付网上下载资料的费用,设他购买x本书， 网上下载y 次资料的效果函数为
U( x, y) ln x ln y 设每本书20元,每次下载的费用10元,问他如何 分配这200元以达到最佳效果．
问题：求函数 U( x, y) ln x ln y 在条件20x 10 y 200 下的极值问题
方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
在条件 (x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值.
如方法 1 所述 , 设 (x, y) 0 可确定隐函数 y (x),
则问题等价于一元函数 z f [x, (x)] 的极值问题, 故 极值点必满足
dz dx
dy fx fy dx
0
0 0
(1) (2)
由(2)-(1)式，得 x 2 y, 代入(2)式,得
区域D内唯一驻点 (2,1), 且 f (2,1) 4.
z f ( x, y) x2 y(4 x y) 在驻点处
再求f ( x, y) 在D边界上的最值：f (2,1) 4
在边界 x 0和 y 0上, f ( x, y) 0