模型解的分析和检验
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*2 阻力产生的加速度也和速度正比. k为比例系数. 分析检验 1. 检查模型的量纲是否正确? 根据比例系数 k 的定义有 LT－2=[k]LT－1
dV kV dt
[k]=T－1
注意到exp(－kt)是无量纲量，可验证模型的 量纲正确. 2. 检验模型是否与物理定律相符? 若忽略空气阻力（即k=0）, 应有 h=0.5 gt2
？
绝对误差为
相对误差为
Hale Waihona Puke Baidu
78.48－73.50≈5(米)，
（78.48－73.50）/73.50≈7%，
？
结果分析 说明被忽略的空气因素对模型产 生较明显的影响. 模型中用到隐含假设：石头撞击地面的声音 能立即听到.
未考虑声音在空气中的传播速度. 传播速度大约为330米／秒 , 则石头着地声音 的传播时间大约为
验证模型是否与此物理定律相符.
能否将 k=0 代入模型
g 1 g h ( t exp( kt )) 2 k k k
？
参见讲义p59. 3. 参数的灵敏度分析 取参数 k 的值为0.05(克/秒),可算得
9.81 1 9.81 h1 h(4) [4 exp(0.2)] 73.50(米 ) 2 0.05 0.05 (0.05)
一个数学模型.
W= a H3 W是人的体重，H 是人的身高. 检验： 先确定参数a，新生婴儿身长约50厘米，
重约3千克,代入模型得
a W / H 3 / 0.5 24,
得模型为 W=24H3 这是一个适用于肥胖人群的体重－身高模型, 据此可计算得
3
3
身高为1.5米的儿童体重为 W(1.5)=81(千克)； 身高为2米的运动员体重为 W(2)=192(千克).
检验模型是数学建模工作的重要环节
例3.6.2 将一块石头扔进洞中估计洞的深度. 一个学生建立了从扔下石头到听到声音的时间 t 和洞深 h 的关系模型：
g 1 g h ( t exp( kt )) , t 0, 2 k k k
用到假设： *1 石头下降时所受空气的阻力和速度成正比;
即, 若回声在4 秒听到，模型测算出洞深73.50米.
又若参数k 有微小变化，测算值会怎样变化？
令 k=0.045, 参数的相对变化幅度为 ︱0.045－0.05︱/0.05=10%，
计算得 h2=h(4)≈73.98，洞深预测值相对
变化幅度为 （73.5－73.89）/73.5＜1%.
说明模型对空气阻力比例系数k 不敏感,即对 洞深预测影响不大,可忽略空气阻力. 4. 进一步分析空气的影响 若完全忽略空气的影响, 有 h1=h(4)=0.5gt2=0.5×9.81×42≈78.48(米)，
模型与模型解的分析与检验，通常需要做 以下几类工作： 1. 2.
量纲一致性检验； 假设的合理性检验；
对模型参数的灵敏度分析；
3.
4. 模型及模型解的误差分析，分析误差 及误差的来源等； 5. 参数或变量的临界值；……
h／330≈73.5／330≈0.223（秒） 取修正时间为 可得 t = 4－0.223= 3.777（秒） h(3.777)≈65.77(米)
结论 声速的影响远甚于空气阻力的影响.
通过对模型的分析、检验，发现由于模型 假设不合理, 考虑因素不合适,造成模型不合 理.
需重新进行问题的前期分析工作
3.6 模型解的分析和检验
始于现实世界并终于现实世界
数学建 模工作
最终要得到现 实问题的解答
求出模型的数学解以后，
必须对解的意义进行分析、检验
需讨论以下类似问题： 1. 这个解说明了什么问题？ 2. 是否达到了建模的目的？
3. 模型的适用范围怎样？
4. 所建模型是否合理？是否合乎实际？是否有
原理性错误、常识性错误？…… 例3.6.1《格列佛游记》中小人国的小人们为 估算格列佛的食量，利用身体的相似性，建立了
dV kV dt
[k]=T－1
注意到exp(－kt)是无量纲量，可验证模型的 量纲正确. 2. 检验模型是否与物理定律相符? 若忽略空气阻力（即k=0）, 应有 h=0.5 gt2
？
绝对误差为
相对误差为
Hale Waihona Puke Baidu
78.48－73.50≈5(米)，
（78.48－73.50）/73.50≈7%，
？
结果分析 说明被忽略的空气因素对模型产 生较明显的影响. 模型中用到隐含假设：石头撞击地面的声音 能立即听到.
未考虑声音在空气中的传播速度. 传播速度大约为330米／秒 , 则石头着地声音 的传播时间大约为
验证模型是否与此物理定律相符.
能否将 k=0 代入模型
g 1 g h ( t exp( kt )) 2 k k k
？
参见讲义p59. 3. 参数的灵敏度分析 取参数 k 的值为0.05(克/秒),可算得
9.81 1 9.81 h1 h(4) [4 exp(0.2)] 73.50(米 ) 2 0.05 0.05 (0.05)
一个数学模型.
W= a H3 W是人的体重，H 是人的身高. 检验： 先确定参数a，新生婴儿身长约50厘米，
重约3千克,代入模型得
a W / H 3 / 0.5 24,
得模型为 W=24H3 这是一个适用于肥胖人群的体重－身高模型, 据此可计算得
3
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身高为1.5米的儿童体重为 W(1.5)=81(千克)； 身高为2米的运动员体重为 W(2)=192(千克).
检验模型是数学建模工作的重要环节
例3.6.2 将一块石头扔进洞中估计洞的深度. 一个学生建立了从扔下石头到听到声音的时间 t 和洞深 h 的关系模型：
g 1 g h ( t exp( kt )) , t 0, 2 k k k
用到假设： *1 石头下降时所受空气的阻力和速度成正比;
即, 若回声在4 秒听到，模型测算出洞深73.50米.
又若参数k 有微小变化，测算值会怎样变化？
令 k=0.045, 参数的相对变化幅度为 ︱0.045－0.05︱/0.05=10%，
计算得 h2=h(4)≈73.98，洞深预测值相对
变化幅度为 （73.5－73.89）/73.5＜1%.
说明模型对空气阻力比例系数k 不敏感,即对 洞深预测影响不大,可忽略空气阻力. 4. 进一步分析空气的影响 若完全忽略空气的影响, 有 h1=h(4)=0.5gt2=0.5×9.81×42≈78.48(米)，
模型与模型解的分析与检验，通常需要做 以下几类工作： 1. 2.
量纲一致性检验； 假设的合理性检验；
对模型参数的灵敏度分析；
3.
4. 模型及模型解的误差分析，分析误差 及误差的来源等； 5. 参数或变量的临界值；……
h／330≈73.5／330≈0.223（秒） 取修正时间为 可得 t = 4－0.223= 3.777（秒） h(3.777)≈65.77(米)
结论 声速的影响远甚于空气阻力的影响.
通过对模型的分析、检验，发现由于模型 假设不合理, 考虑因素不合适,造成模型不合 理.
需重新进行问题的前期分析工作
3.6 模型解的分析和检验
始于现实世界并终于现实世界
数学建 模工作
最终要得到现 实问题的解答
求出模型的数学解以后，
必须对解的意义进行分析、检验
需讨论以下类似问题： 1. 这个解说明了什么问题？ 2. 是否达到了建模的目的？
3. 模型的适用范围怎样？
4. 所建模型是否合理？是否合乎实际？是否有
原理性错误、常识性错误？…… 例3.6.1《格列佛游记》中小人国的小人们为 估算格列佛的食量，利用身体的相似性，建立了