时间、燃料最优控制问题

第四讲 时间、燃料最优 控制问题
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主要内容
4.1 Bang-Bang控制
4.2 线性时不变系统的时间最优控制问题
4.3 时间最优控制系统的综合
4.4 燃料最优控制问题
4.5 时间-燃料最优控制问题
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4.1 Bang-Bang控制

问题4.1(时间最优控制问题) 已知系统的状态方程 （4.1.1） X (t ) f [ X (t ), t ] B[ X (t ), t ]U (t ) 其中f[X(t)，t]是对X(t)和t连续可微的n维向量函数； B[X(t)，t] 是对X(t)和t连续可微的nm维的矩阵函数.要求确定满足下列 不等式 u j (t ) 1 , j 1,2,, m （4.1.2） 约束的m维容许控制向量，使系统(4.1.1)从给定的初态 X (t0 ) X 0 （4.1.3） 到达满足约束条件 [ X (t f ), t f ] 0 （4.1.4） 的某一终态X(tf)，其中tf是可变的，是对X(t)和t连续可微的r 维向量函数。并使性能指标达到最小值。
式中
q(t ) T (t ) B
或者
u j * (t ) sgn q j (t ) sgn T (t )b j
式中bj是矩阵B的第j列向量。
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定理4.2 （存在性定理）
X (t ) AX (t ) BU (t )
对于问题4.2线性时不变系统的时间最优控制问
[ X (t f ), t f ] 0
T (t f ) X X t t f
T 0 H t t t t f
（4.2.4） 1 T (t f ) AX (t f ) T (t f ) BU (t f ) 15 0
U ( t )
1 T (t ) f [ X * (t ), t ] T (t ) B[ X * (t ), t ]U * (t ) min {1 T (t ) f [ X * (t ), t ] T (t ) B[ X * (t ), t ]U (t )}
u j ( t ) 1
q ( t )u ( t )
j 1 j j
m
j 1,2,, m
m
min [U (t )] min q j (t )u j (t ) q j (t )
u j ( t ) 1 j 1 u j ( t ) 1 j 1
j 1,2,, m
也就是最优控制uj*(t)是qj(t)的如下函数
T j 1
m
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于是，T (t ) B[ X * (t ), t ]U * (t ) min T (t ) B[ X * (t ), t ]U (t )
u j ( t ) 1
j 1,2,, m
可转化为如下条件
u j ( t ) 1
min [U (t )] min
m
u j ( t ) 1
X (t0 ) X 0
[ X (t f ), t f ] 0
T (t f ) X X t t f
T 0 H t t t t f
终端受限
tf自由
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最小值原理
（3）控制方程为 H [ X * (t ), (t ),U * (t ), t ] min H [ X * (t ), (t ),U (t ), t ]
至少有一个为奇异矩阵时，则时间最优控制问题
4.2是奇异的。
（证明略）
非平凡 定理4.4 （正常性定理） 当且仅当下列m个nn维矩阵
G j b j Ab j A2b j An 1b j j 1,2,, m
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由上式可知， 正常情况 奇异情况 qj(t)0，则uj*(t) 有定义。 qj(t)＝0， uj(t)可取满足约束条件 u j (t ) 1 的任何值，uj*(t) 不定。 定义4.1 若在区间[t0，tf]内，存在一时间可数集
j 1,2,, m
t1 j ,t2 j , , t j [t0 , t f ], 1,2,;
T T



控制向量受限时,非线性系统 的时间最优控制问题

控制向量受限时,非线性系统 的综合最优控制问题
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4.2

线性时不变系统的时间最优控制问题
X (t ) AX (t ) BU (t )
问题4.2(时间最优控制问题) 已知线性时不变系统的状态方程 （4.2.1）
式中X(t)是n维状态向量，U(t)是m维控制向量，A是nn维常数
使得对所有的j=1，2，，m，有
0, 当且仅当t t j Βιβλιοθήκη Baidu q j (t ) (t )b j 非零, 当t t j 则称该时间最优问题是正常的。
T
说明：在正常的时间最优问题中， 函数qj(t)只是在有限个孤 立的时刻取零值,相应的最优控制分量uj*(t)仅在这些时刻发生 跳变。 uj*(t)是具有第一类间断点的 分段 常值函 8 数。
J dt t f t0
t0
tf
（4.1.5）
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解：（1）应用最小值原理来求解。写出该问题的哈密顿函数
H [ X (t ), (t ),U (t ), t ] 1 T (t ) f [ X (t ), t ] T B[ X (t ), t ]U (t )
（2）规范方程及边界条件分别为 (t ) H f [ X (t ), t ] B[ X (t ), t ]U (t ) X H f T [ X (t ), t ] [ B[ X (t ), t ]U (t )]T (t ) (t ) (t ) X X (t ) X (t )
u j * (t ) 1 , 若q j (t ) 0 由于控制函数U(t)的各个分量 的约束都是彼此独立的,所以 * u j (t ) 1 , 若q j (t ) 0 可以交换最小与求和的次序 u j * (t )不定 , 若q j (t ) 0 u * (t ) sgn{q j (t )} sgn{ T (t )b j [ X (t ), t ]} j j 1,2,, m, t [t0 , t f ]
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[U (t )] T (t ) B[ X (t ), t ]U (t )
为讨论方便起见，定义m维行向量
q(t ) T (t ) B[ X (t ), t ]
其分量
q j (t ) T (t )b j [ X (t ), t ],
j 1,2,, m
其中bj[X(t)，t]是矩阵B[X(t)，t]的第j个列向量，即
H [ X (t ), (t ),U (t ), t ] 1 T (t )[ AX (t ) BU (t )]
（3）应用最小值原理:
* T
U (t ) ？
*
T
使得H达到最小
(t ) B sgn qT (t ) sgn BT (t ) U (t ) sgn
定理4.1 Bang-Bang控制原理（正常的时间最优控制问题） 设U*(t)是问题4.1的时间最优控制， X*(t)和 (t)是相应的状 态和协态。若问题是正常的，则时间最优控制U*(t)的各个 分量uj*(t)( j=1，2，，m)可以按照下列关系确定
u j* (t ) sgn{q j (t )} sgn{ T (t )b j [ X (t ), t ]}
矩阵，B是nm维常数矩阵。
设系统(4.2.1)是完全可控的。要求确定满足下列不等式
u j (t ) 1 j 1,2,, m
（4.2.2）
约束的m维容许向量U(t)，使系统(4.2.1)从给定的初态
X (0) X 0
（4.2.3）
出发，最快的转移到状态空间原点 。
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解： （1）写出该问题的哈密顿函数
u 1
u* (t ) j
奇异区间
q j (t )
u* ? j
0
t0
t1
t2
tf
t
-1
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说明：
1. 只要有一个函数qj(t)( j=1，2，，m)在某一段(或几段)时
间区间[t1，t2] [t0，tf]上取零值，则称该时间最优问题是奇 异的，在区间[t1，t2]上， qj(t)等于零。此时,由关系式
j 1,2,, m
着重分析下式：
T (t ) B[ X * (t ), t ]U * (t ) min T (t ) B[ X * (t ), t ]U (t )
u j ( t ) 1
j 1,2,, m
(4.1. 6) 令
[U (t )] T (t ) B[ X (t ), t ]U (t )
H [ X (t ), (t ),U (t ), t ] 1 T (t )[ AX (t ) BU (t )]
（2）规范方程及边界条件分别为：
X (t ) AX (t ) BU (t )
(t ) AT (t )
X (0) X 0
H [ X (t ), (t ),U (t ), t ] 1 T (t )[ AX (t ) BU (t )] 1 X T (t ) AT (t ) U T (t ) BT (t )
u 1
u* (t ) sgn( q j (t )) j
0
t0
tf
t
-1
q j (t )
图4-1
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定义4.2 若在区间[t0，tf]内，至少存在一个区间[t1，t2] [t0，tf]， 使得对所有的t [t1，t2]有 q j (t ) T (t )b j [ X (t ), t ] 0, j 1,2,, m 则称该时间最优问题是奇异的,而区间[t1，t2]称为奇异区间。
题来说，若矩阵A的特征值均具有负实部，则使
系统
X (t ) AX (t ) BU (t )
从任意初态转移到坐标原点的时间最优控制一
定存在。 若这一问题又是正常的，则该时间最优控制是 唯一的。
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定理4.3（奇异性定理） 当且仅当m个nn维矩阵中
G j b j Ab j A2b j An 1b j j 1,2,, m
b j [ X (t ), t ] [b1 j [ X (t ), t ], b2 j [ X (t ), t ],, bnj [ X (t ), t ]]T
则
[U (t )] (t ) B[ X (t ), t ]U (t ) q(t )U (t ) q j (t )u j (t )
u j (t ) sgn{q j (t )}, j 1,2,, m
无法确定最优控制各分量uj*(t)之值。
2. 奇异情况的出现,既不意味着时间最优控制不存在，也不意
味着时间最优控制无法定义，它仅仅表明，由控制方程不能 推出最优控制U*(t)与X*(t)、 (t)和t的确切关系.
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j 1,2,, m
则时间最优控制的各个分量uj*(t)都是时间t的分段常值函数， 并在开关时间tj上发生uj*(t)由一个恒值到另一个恒值的跳变。 ＊上式还可以写成向量的形式
* T
U (t ) sgn{q (t )} sgn (t ) B[ X (t ), t ] sgn BT [ X (t ), t ] (t ) 说明：定理4.1表明，一个正常的时间最优控制问题，其最优 控制的每个分量uj*(t)均在自己的两个边界值之间来回转换， 满足qj(t)＝0的诸点tj恰好是转换点。这是一种继电型控制， 12 通常称为Bang-Bang控制或开关控制。